Valor mínimo de $ab-cd$ es

Question

Si $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ y $a^2+b^2=c^2+d^2=4$

$ac+bd=0$ . Entonces el valor mínimo de $ab-cd$ es

Plan

$(ac+bd)^2+(ab-cd)^2=a^2c^2+b^2d^2+a^2b^2+c^2d^2\geq 0$

$a^2(b^2+c^2)+d^2(b^2+c^2)\geq 0$

Cómo lo resuelvo Ayúdenme por favor

Answer 1

Dejemos que $a=2\sin\alpha$ , $b=2\cos\alpha$ , $c=2\sin\beta$ y $d=2\cos\beta$ .

Entonces $4\sin\alpha\sin\beta+4\cos\alpha\cos\beta=0$ y por lo tanto $\cos(\alpha-\beta)=0$ . Por lo tanto, $\alpha=(n+\frac12)\pi+\beta$ .

\begin{align*} ab-cd&=2\sin2\alpha-2\sin2\beta\\ &=4\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\\ &=4\cos\left(\left(n+\frac12\right)\pi+2\beta\right)\sin\left(\left(n+\frac12\right)\pi\right) \end{align*}

El menor valor posible es $-4$ .

Answer 2

Interpretación geométrica de las condiciones anteriores con $U=\binom{a}{b}$ , $V=\binom{c}{d}$ dar :

$\|U\|=\|V\|=2$ y el producto punto $U . V=0$ es decir, $U$ y $V$ son ortogonales.

Así, $a = 2\cos \alpha, b=2\sin \alpha, c = 2\cos \beta, d=2\sin \beta \tag{1}$

para un determinado $\alpha$ ( $-\pi < \alpha \leq \pi$ ) con $\beta=\alpha\pm \pi/2,$ expresando ortogonalidad.

Como $$ab-cd=4 \sin \alpha \cos \alpha-4 \sin \beta \cos \beta$$

$$ab-cd=2 \sin 2 \alpha-2 \sin 2 \beta $$

con $2 \beta=2 \alpha\pm \pi$ .

$$ab-cd=2 \sin 2 \alpha-2 \sin (2 \alpha\pm \pi)$$

$$ab-cd=2 \sin 2 \alpha+2 \sin 2 \alpha=4 \sin 2 \alpha \tag{2}$$

con un valor mínimo $-4$ para $\alpha=-\pi/4$ es decir, utilizando (1) con $\beta=\alpha+\pi/2=\pi/4$ con :

$$a=\sqrt{2}, b=- \sqrt{2}, c= \sqrt{2}, d=\sqrt{2}.$$

Más generalmente con :

$$a=s_1 \sqrt{2}, b=- s_1 \sqrt{2}, c= s_2 \sqrt{2}, d=s_2 \sqrt{2} \ \text{with} \ s_1, s_2 = \pm 1$$