El año pasado leí la prueba de Devinatz-Hopkins-Smith de las conjeturas de nilpotencia y, aunque seguí frase a frase, no creo que entendiera gran parte de las razones que motivan que lo que hicieron sea un modo de prueba sensato. Tengo la intención de volver a entender algunas de estas piezas conceptuales; esta pregunta es un paso en esa dirección.
La prueba de la nilpotencia de los aplastamientos se realiza, a primera vista, mediante una secuencia de interpolaciones. El enunciado original es:
(nilpotencia de Smash:) Si un mapa de un espectro finito induce el mapa cero en $MU$ -entonces el mapa es de hecho nilpotente.
Sin ningún problema, lo reducen a la siguiente afirmación:
(Caso especial de nilpotencia de Hurewicz:) Supongamos $\alpha$ es un elemento de la homotecia $\pi_* R$ de un espectro de anillo asociativo $R$ de tipo finito. Si $\alpha$ está en el núcleo del mapa $\pi_* R \to MU_* R$ inducido por el aplastamiento $R$ con el mapa de unidades $S \to MU$ entonces $\alpha$ es nilpotente.
Para abordar esta cuestión, interpolan entre el espectro de la esfera y $MU$ de dos maneras. En primer lugar, producen una secuencia de espectros $X(n)$ cada uno de ellos dado por el espectro de Thom asociado al compuesto $\Omega SU(n) \to \Omega SU \to BU$ una especie de restricción del mapa de Bott. El colímite del $X(n)$ es $MU$ y por lo tanto $X(N)_* \alpha$ es cero para un número suficientemente grande de $N$ , donde $\alpha$ se considera un mapa $S^t \to R$ . Desde $X(1)$ es el espectro de la esfera, el nuevo objetivo es demostrar que la nilpotencia en $X(n+1)$ -homología obliga a la nilpotencia en $X(n)$ -para cualquier $n$ y luego bajar de $X(N)$ al espectro de la esfera. Para moverse entre $X(n+1)$ y $X(n)$ , interpolan entre estos espectros tirando de $X(n+1)$ separadas utilizando la construcción filtrada de James; esto da como resultado una secuencia creciente de $X(n)$ -espectro del módulo $F_{n, k}$ satisfaciendo $F_{n, 0} \simeq X(n)$ y convergiendo a $X(n+1)$ en el límite.
El resto del argumento se divide en dos partes:
1) Si $\alpha: S^t \to R$ es nilpotente en $X(n+1)$ -entonces induce el mapa cero en $F_{n,p^k-1}$ -para algunos grandes $k$ --- es decir, nuestro argumento continúa en algún lugar de la torre de aproximación entre $X(n+1)$ y $X(n)$ .
2) Si induce el mapa cero en $F_{n, p^k-1}$ -también induce el mapa cero en $F_{n, p^{k-1}-1}$ -Homología.
Para demostrar la parte 1, investigan la $X(n+1)$ -basada en la secuencia espectral de Adams $$\mathrm{Ext}^{*, *}_{X(n+1)_* X(n+1)}(X(n+1)_*, X(n+1)_* F_{n, p^k-1} \wedge R) \Rightarrow (F_{n, p^k-1})_* R.$$ La clave es la existencia de líneas de fuga en estas secuencias espectrales, donde la pendiente de la línea de fuga puede hacerse pequeña haciendo $k$ grandes. Para establecer estas líneas de fuga, realizan una secuencia de aproximaciones, terminando con secuencias espectrales con $E_2$ términos: $$\mathrm{Ext}^{*, *}_{\mathbb{F}_p[b_n]}(\mathbb{F}_p, \mathbb{F}_p\{1, \ldots, b_n^{p^k-1}\}),$$ $$\mathrm{Ext}^{*, *}_{\mathbb{F}_p[b_n^{p^k}]}(\mathbb{F}_p, \mathbb{F}_p).$$
Mi pregunta es: ¿Existe una interpretación geométrica para los apilamientos asociados a los algebroides de Hopf anteriores? ( --o cualquiera de los otros algebroides de Hopf implicados que no he enumerado.) O: ¿cuál es el contenido geométrico de la Parte II de D-H-S?
Por ejemplo, es bien sabido que existe una secuencia espectral que calcula los grupos de homotopía de la teoría K real cuya entrada corresponde a la pila de moduli de cuadráticas y traslaciones. Se supone que esta pila parametriza los grupos multiplicativos disponibles sobre algún campo cerrado no algebraico, lo que proporciona una cierta visión geométrica del problema. Me gustaría saber si hay algún tipo de geometría que corresponda a las pilas controladoras que se encuentran en el fondo del argumento D-H-S.
Nota: Por supuesto, una respuesta positiva a esta pregunta, tal como está formulada, puede no significar mucho. El proceso que D-H-S utiliza para reducir a este cálculo Ext mucho más pequeño es uno extremadamente deficitario con la intención muy clara de sólo llegar a la existencia de una línea de fuga. La geometría de estas pilas inferiores puede tener muy poco que decir sobre la geometría de las pilas con las que empezamos.
