Ecuación diferencial $y(x)'=(y(x)+x)/(y(x)-x)$

Question

Puede alguien darme algunos consejos sobre cómo resolver esta ecuación diferencial. He mirado la solución de Wolfram que sustituye $y(x)=xv(x)$ . Sabría cómo resolver a partir de ahí, pero no tengo ni idea de por qué lo hicieron en primer lugar, bueno por qué el algoritmo lo hizo en primer lugar. Cuando se sustituye $y(x)=xv(x)$ ?

¿Qué otras formas hay de solucionarlo?

Answer 1

Enfoque 1

$$y = v x \rightarrow y' = v + x v'$$

Sustituir en la EDO original. Parece que sabes cómo hacer esto.

¿Por qué funciona esto?

Para resolver la ecuación $\tag 1 \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{f_1(x, y)}{f_2(x,y)},$

donde $f_1(x,y)$ y $f_2(x,y)$ son funciones homogéneas del mismo grado en $x$ y $y$ utilizamos el siguiente enfoque. Sea

$$f_1(x,y) = x^n \phi_1\left(\dfrac{y}{x}\right), ~f_2(x,y) = x^n \phi_2\left(\dfrac{y}{x}\right).$$

Desde $(1)$ tenemos

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{f_1(x, y)}{f_2(x,y)} = \dfrac{x^n \phi_1\left(\dfrac{y}{x}\right)}{x^n \phi_2\left(\dfrac{y}{x}\right)} = \dfrac{\phi_1\left(\dfrac{y}{x}\right)}{\phi_2\left(\dfrac{y}{x}\right)}$$

Ahora podemos escribirlo como

$$\dfrac{dy}{dx} = f\left(\dfrac{y}{x}\right)$$

Ahora, si decimos $v = \dfrac{y}{x} \rightarrow y = vx$ y sustituimos, obtenemos una ecuación separable de la forma

$$\dfrac{dv}{f(v) - v} = \dfrac{dx}{x}.$$

Enfoque 2

Dejemos que $x + y = z$ .

Tenemos $x + y = z \rightarrow 1 + \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dz}{dx} \rightarrow \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dz}{dx} - 1$ .

Para el numerador, sustituimos $z$ y para el denominador, sustituimos $y-x = z-2x$ . ¿Ves cómo se consigue esto último?

Ahora, la EDO es separable.

Enfoque 3

Dejemos que $y-x = z$ .

Siga lo que se hizo en el enfoque 2.

Answer 2

Supongamos una ecuación de escala $x \to \alpha x$ y $y \to \beta y$ . Bajo esta escala, la ecuación se convierte en $$ y' = {\alpha \over \beta}\, {y + \left(\alpha/\beta\right)x \over y - \left(\alpha/\beta\right)x} $$ Entonces, podemos ver que la ecuación no cambia su forma siempre que $\alpha = \beta$ . Significa $y/x$ tampoco cambia su forma. Entonces, un cambio de variables $\left(~y \to {\rm f}~\right)$ como $y/x = {\rm f}\left(x\right)$ debería simplificar la ecuación original, como ya demostraron otras personas ( ver @Amzoti ).

Para esta sencilla ecuación, este análisis puede ser demasiado pretencioso. Sin embargo, ilustra una técnica general que puede ser bastante útil en casos más complicados.

Véase, por ejemplo, Aplicaciones de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales ( Ecuaciones diferenciales e integrales y sus aplicaciones ) por Vladimir Dorodnitsyn.