Aproximación de Chebyshev a la distribución de los primos

Question

Esto está motivado por un reciente pregunta por Wadim.

La respuesta negativa debe ser conocida, ya que t es muy natural, en este caso estaría encantado de ver cualquier referencia.

El planteamiento de Pafnuty Lvovich Chebyshev sobre la distribución de los primos puede conducir a la propia PNT, si sustituimos $\frac{(30 n)! n!}{(15 n)! (10 n)! (6 n)!}$ a otros cocientes enteros de factoriales? Si no, ¿cuáles son las mejores constantes en la relación asintótica $$ c_1 \frac{n}{\log n}< \pi(n)< c_2 \frac{n}{\log n} $$ que se puede obtener de esta manera?

Answer 1

Erdős y Diamond demostraron en [ 1 ] que Chebyshev podría haber logrado límites más nítidos para el comportamiento asintótico de la función de recuento de primos. Sin embargo, su prueba no arroja ninguna luz sobre la primera cuestión que has planteado, porque dieron por sentada la PNT a lo largo de su nota.

Referencias:

[ 1 ] H. G. Diamond; P. Erdős. Sobre estimaciones agudas de números primos elementales Enseign. Math. (2) 26 (1980) 313-321.

Answer 2

Según las notas de la quinta edición de Niven, Zuckerman y Montgomery Introducción a la teoría de los números para cada $\epsilon\in(0,1)$ hay una serie de parámetros en el método de Chebyshev que demuestra $$(1-\epsilon)\frac{\log x}{x} < \pi(x) < (1+\epsilon)\frac{\log x}{x}$$ para todo lo que sea suficientemente grande $x$ pero que la prueba de esto utiliza PNT por lo que no proporciona una prueba alternativa de PNT.

Citan un artículo de H. G. Diamond y P. Erdos: "Sobre estimaciones primarias elementales agudas", L'Enseignment Math. 26 (1980), 313-321.