¿Podemos derivar la acción de Einstein-Hilbert mediante el principio de acción y la conexión Levi-Civita?

Question

Supongamos que tomamos el principio de mínima acción como algo dado. Supongamos también que cualquier colector permitido por la acción lleva la conexión de Levi-Civita (característica sin torsión). Supongamos también que la simetría local impuesta en el espacio tangente de cada punto del colector es la del grupo de Poincare, a través del principio general de covarianza.

¿Serían éstas suficientes para derivar la acción de Einstein-Hilbert, y por corolario las ecuaciones de campo de Einstein? ¿O necesitamos condiciones adicionales para derivar la acción de Einstein-Hilbert?

Edición: Si no es así, ¿cuáles serían otras condiciones adicionales?

Answer 1

No, cualquier acción que sea un escalar satisfaría sus requisitos. Por ejemplo, podrías tener varios términos que sean funciones de las distintas curvaturas escalares $R$ , $R_{ab}R^{ab}$ o $R_{abcd}R^{abcd}$ , por poner algunos ejemplos; probablemente se podrían inventar más. Se necesita algún requisito más para fijar el Lagrangiano para que sea sólo $R$ .

Answer 2

La forma de obtener la acción de Einstein-Hilbert en 4 dimensiones es tomar esos requisitos junto con los siguientes :

• El tensor tensión-energía tiene una divergencia nula
• La ecuación del movimiento tiene como mucho segundas derivadas en la métrica

Con esas dos condiciones adicionales, la acción de Einstein-Hilbert, más un término cosmológico, es la única solución en 4 dimensiones.