soluciones de $x^x=a^a$ , $a>1, x<0$

Question

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación $x^x=a^a$ , donde $a>1$ y $x<0$ ?

Mi trabajo hasta ahora:

Escribo $x=\frac{-2t}{2m+1}$ , ( $t,m\in \mathbb{N}^{*}$ ). (Para tratar la función exponencial con base negativa, asumo sólo cuando $x$ es racional con divisor impar). Así que tengo:

$$\large({\frac{-2t}{2m+1}}\large)^{\frac{-2t}{2m+1}}=a^a \quad (1)$$

o $$(2m+1)^{2t}=a^{a(2m+1)}(2t)^{2t}\quad (2)$$

De (1) podemos deducir que si $a^a$ no es algebraico ( $a^a$ es una raíz del polinomio racional $x^{2m+1}-(\frac{2m+1}{2t})^{2t}$ ) entonces no hay solución. De (2) también deducimos que si $a^a\in \mathbb{N}$ entonces no hay solución ya que $(2m+1)^{2t}$ es impar y $a^{a(2m+1)}(2t)^{2t}$ siempre es par. Pero ¿qué significa eso para $a>1$ ? debe ser algebraico y no un número natural? ¿Podemos acotar un poco más los posibles valores de $a$ ? Gracias.

Answer 1

Esto es lo que puedo decir sobre $a$ : El conjunto completo de soluciones para $(a,x)$ viene dada por $$ \left\{\left(\exp(W(\left(\frac{2t}{2m+1} \right)^{2t/(2m+1)})),-\frac{2t}{2m+1} \right)\mid t,m\in\mathbb{N}^+\right\} $$ donde $W$ es el Función Lambert W . Todas las soluciones para $a$ es un número trascendental en $(1,1.3211 ...)$ y forman un subconjunto denso de este intervalo.

Como usted observa, para tener $x^x$ sea un número real no negativo necesitamos que $x$ es un número racional con denominador impar. Como prueba, observamos que todas las posibles ramas de la función exponencial multivaluada pueden escribirse como $$ (-1)^{x} x^{-x} = \exp(n \pi i x) x^{-x} $$ para $n$ un número entero de impar. Si la salida debe ser un número real positivo, obviamente $nx$ debe ser un número entero par. Por lo tanto, $x = -\frac{2t}{2m+1}$ para algunos enteros positivos $t,m$ y obtenemos como usted afirma $$ (2m+1)^{2t} = a^{a(2m+1)} (2t)^{2t} $$ Asumiré también que $2t$ y $2m+1$ son relativamente primos. Sustituyamos $b=a^a$ y obtenemos $$ (2m+1)^{2t} = b^{2m+1} (2t)^{2t} $$ A partir de aquí, podemos ver que $b$ no puede ser un entero porque el LHS es impar y el RHS es par. Obviamente $b$ es algebraico, y además es irracional: Supongamos que $b$ es racional con forma reducida $\frac n d$ entonces $$ \frac{(2m+1)^{2t}}{(2t)^{2t}} = \frac{n^{2m+1}}{d^{2m+1}} $$ Ambas fracciones son reducidas, por lo que debemos tener $n^{2m+1} = (2m+1)^{2t}$ lo que implica que $\sqrt[2m+1]{2m+1}$ es un número entero, y por lo tanto tendríamos que tener $m=0$ pero esto implica $x^x < 1 < a^a$ . Por lo tanto, $b$ es un número algebraico irracional.

Esto implica que $a$ es trascendental por la Teorema de Gelfond-Schneider .

Para mostrar algunos límites en $a$ observamos que $x^x = a^a$ implica $|x|^x = a^a$ o, por el contrario $$ {(-x)}^{x} = a^a $$ Desde $a>1$ concluimos que $x\in(-1,0)$ . Desde $a^a$ es estrictamente creciente, observamos que para cada $x\in(-1,0)$ hay un único $a$ que resuelve la ecuación. El LHS se maximiza en $x=-\frac1e$ por lo que todas las soluciones para $a$ satisfacer $ a^a \le e^{\frac1e} $ o de forma equivalente $$ a \le \exp(W(1/e)) \approx 1.321099762\dots $$