Construí una biyección utilizando expansiones decimales de dos números reales y tomando números de 1 en 1 consecutivamente. (Me costó horas llegar a esto). Recuerdo que alguien dijo que apelar a algún tipo de expansión es la única forma de hacerlo, y creo que este tipo de método nunca puede ser continuo. ¿Hay alguna forma de demostrar que no existe tal función?
Respuesta
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Sí, existe una suryección continua desde $\mathbb R$ a $\mathbb R^2$ . La siguiente es una forma sencilla de construir uno, aunque debe haber construcciones más elegantes. Sea $f:[0,1]\to[-1,1]^2$ sea una curva de llenado de espacio que comienza y termina en el origen, por ejemplo la Curva de Sierpinski (aunque, por supuesto, se puede empezar con cualquier curva que llene el espacio $[0,1]\to[0,1]^2$ se obtiene una nueva curva de llenado de espacio $[0,1]\to[-1,1]^2$ por traslación y escalado, y luego añadir trayectorias al principio y al final de la curva para que empiece y termine en el origen). Mediante el escalado, podemos definir una curva que llene el espacio $g_n:[0,1]\to[-n,n]^2$ por $g_n(x)=nf(x)$ para cualquier número entero $n>0$ que comienza y termina en el origen. Ahora podemos definir una curva de llenado de espacio a partir de $[0,\infty)$ a $\mathbb R^2$ caminando primero por la curva $g_1$ , y luego caminar a lo largo de la curva $g_2$ , y luego caminar a lo largo de la curva $g_3$ y así sucesivamente. Esta es una curva continua y pasa por cada punto de $(x,y)\in \mathbb R^2$ ya que para cada $(x,y)$ existe un $n>0$ tal que $(x,y)\in[-n,n]^2$ .
Para ser explícitos, la curva $F:\mathbb R\to\mathbb R^2$ definido por $F(x)=0$ si $x<1$ y $F(x)=g_n(x-n)$ si $x\in[n,n+1)$ es una suryección continua.
