Es fácil ver que $S^2\times S^1$ como una variedad riemanniana no es euclidiana, hiperbólica o elíptica. También es fácil ver que la variedad topológica $S^2\times S^1$ no admite una de estas tres estructuras geométricas (en particular la geometría elíptica)?
No he podido encontrar un argumento que explique por qué debería ser así.
Si la geometría euclidiana es una geometría riemanniana cuya curvatura desaparece. Bieberbach ha demostrado que una variedad euclidiana compacta está finamente cubierta por el toro y $S^2\times S^1$ no está cubierto finitamente por el toro, ya que su cubierta universal es $S^2\times \mathbb{R}$ y la cubierta universal de $T^3$ es $\mathbb{R}^3$ .
Para la geometría hiperbólica, la cubierta universal de una variedad hiperbólica i la $H^n$ que es contractible y la cubierta universal de $S^2\times S^1$ no se puede contraer.
Para la geometría elíptica, un teorema de Myers implica que el grupo fundamental de una variedad elíptica es finito
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
