Condición necesaria para $|x-1|$ para asegurar $|x^2 -1| < \frac{1}{2}$ . ¿Es correcta mi solución? ¿Cómo obtener la respuesta más ajustada?

Question

Pregunta: Determinar una condición en $|x-1|$ que asegurará que:- $$|x^2 -1| < \frac{1}{2}$$

Mi solución: -
Dejemos que $f(x) = x^2$ $$\lim _{x \rightarrow 1} f(x) = \lim _{x \rightarrow 1} x^2 = 1$$ Para encontrar $\delta$ para que $\: \: |f(x) - 1| < \epsilon = \frac{1}{2}\: \:$ siempre que $\: \: 0 < |x-1| < \delta$
$$|f(x) - 1| < \epsilon = |x^2-1| = |x+1||x-1|$$ $$|f(x)-1| = |x+1||x-1|$$ $$|f(x)-1| < \delta \: |x+1| \tag {1}$$ $$$$ $$0 < |x-1| < \delta$$ $$|x-1| < \delta$$ $$-\delta < x-1 < \delta$$ $$-\delta +2 < x+1 < \delta + 2$$ $$-\delta-2 < x+1 < \delta + 2$$ $$|x+1| < \delta + 2 \tag{2}$$
Sustituyendo la ecuación (2) en (1) $$|f(x) -1| < \delta \: |x+1|$$ $$| f(x) - 1| < \delta \: (\delta + 2)$$ Resolver $\delta \: (\delta + 2) = \frac{1}{2}$ para $\delta$ nos encontramos con que: $$\delta = \frac{-2\pm \sqrt{6}}{2}$$ Desde $\delta$ sólo puede ser positivo, la condición necesaria es $$0 < |x-1| < \frac{-2+\sqrt{6}}{2} \approx 0.2247$$

Answer 1

Me gusta cómo se intenta utilizar el concepto de continuidad aquí. Pero el problema es mucho más sencillo. Se puede determinar la condición necesaria y suficiente en $|x-1|$ simplemente resolviendo la desigualdad directamente.

Primero, una solución algebraica:

$$|x^2-1|<\frac{1}{2}\iff -\frac{1}{2}<x^2-1<\frac{1}{2} \iff \frac{1}{2}<x^2<\frac{3}{2}\iff \frac{1}{\sqrt{2}}<|x|<\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$ Y $$\frac{1}{\sqrt{2}}<|x|<\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\iff x\in ]-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[\, \cap \left( ]\frac{1}{\sqrt{2}},\infty[\,\cap\, ]-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}[ \right) $$ $$\iff x\in ]-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}[\,\cup\, ]\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[.$$

En segundo lugar, una solución geométrica:

Usted sabe que $x\mapsto x^2-1$ es una parábola cuyo eje de simetría es el $y-axis$ , vértice en $(-1,0)$ y abrir hacia arriba. Encuentra los puntos de intersección de la parábola con las dos rectas horizontales $y=-1/2$ y $y=1/2$ . Inmediatamente se descubren los dos intervalos en los que la curva $x^2-1$ se encuentra sobre la línea $y=-1/2$ y por debajo de la línea $y=-1/2$ .

Su argumento original no es erróneo. De hecho, es creativo.

Answer 2

$$|x^2 - 1|<\frac{1}{2}$$

$$-\frac{1}{2} < x^2 - 1<\frac{1}{2}$$

$$1 -\frac{1}{2} < x^2 < 1+ \frac{1}{2}$$

$$\sqrt{ \frac{1}{2} }< x < \sqrt{\frac{3}{2}} \text{ or } -\sqrt{ \frac{3}{2} }< x <-\sqrt{\frac{1}{2}} $$

$$\sqrt{ \frac{1}{2} }-1< x-1 < \sqrt{\frac{3}{2}}-1 \text{ or } -\sqrt{ \frac{3}{2} }-1< x-1 <-\sqrt{\frac{1}{2}}-1 $$

Una condición necesaria (pero no suficiente) es $$|x-1| < \sqrt{\frac{3}{2}}+1.$$