Demuestra que $f(x)=\frac{2}{x}\cos \frac{1}{x^2}$ NO está acotado en [-1,1]

Question

Demuestra que $f(x)=\frac{2}{x}\cos \frac{1}{x^2}$ NO está acotado en [-1,1]

La pista dada en el libro:

Dejemos que $a_{n} = \sqrt{\frac{2}{(2n-1)\pi }} $

Entonces $\cos (1/a_{n}^2)=1$ para todo n, $a_{n}\rightarrow 0$ y

$\frac{2\cos(1/a_{n}^2)}{a_{n}}=\frac{2}{\sqrt{\frac{2}{(2n-1)\pi }}}=\sqrt{2(2n-1)\pi }\rightarrow \infty $ como $n\rightarrow \infty$ .

Pensaba que esta pista se refería al criterio secuencial de los límites. Por lo tanto, sólo puede mostrar que $f(x)$ no tiene un límite en 0, ¿verdad? ¿Cómo puedo concluir de ahí que $f(x)$ no está acotado cuando $x\in[-1,1]$ ?

Answer 1

En primer lugar, la pista no da lo que has escrito, ya que $$ \cos (1/a_{n}^2)=\cos\left((2n-1)\frac{\pi}2 \right)=0\neq1,\quad n=1,2,\ldots. $$ Si uno pone $b_{n} := \sqrt{\dfrac1{2n\pi }}$ , para $n\geq1$ entonces $$ \left|f(b_n)\right|=\left|2\sqrt{2n\pi}\cdot\cos (1/b_{n}^2)\right|=\left|2\sqrt{2n\pi}\times 1\right|=2\sqrt{2n\pi}, $$ como $n \to \infty$ , $b_n \to 0$ y $$ \left|f(b_n)\right| \to \infty, $$ así $f$ no está acotado sobre $[-1,1]$ .