Si $X_{1}, X_{2}$ es una r.s. de $N(0,\sigma^2)$ (Familia de escalas) muestran que $\frac{X_1}{X_2}\sim \operatorname{Cauchy}(0,1)$

Question

Si $X_{1}, X_{2}$ es una muestra aleatoria de $N(0,\sigma^2)$ (Familia de escalas) muestran que $\frac{X_1}{X_2}\sim \operatorname{Cauchy}(0,1)$ .

En este caso, he tratado de utilizar el CDF $F_{\frac{X_1}{X_2}}\left( y_{1} \right)=P\left( \frac{X_1}{X_2}\leq y_{1} \right)$ . Pero estoy confundido en cómo proceder.

Answer 1

Este es un distribución de la proporción donde sin pérdida de generalidad $\sigma=1$ así que $$f_{X_1/X_2}(z):=\int_{\Bbb R}|x_2|\tfrac{1}{2\pi}e^{-(1+z^2)x_2^2/2}dx_2=\tfrac{1}{\pi}\int_0^\infty x_2e^{-(1+z^2)x_2^2/2}dx_2=\tfrac{1}{\pi(1+z^2)}.$$