Supongamos que $X$ es $n\times 1$ y $a$ es escalar. Son cantidades aleatorias tales que $$ \operatorname{E}\left[\begin{pmatrix}a\\X\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},\quad\operatorname{Var}\left[\begin{pmatrix}a\\X\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}\sigma_a^2 & \sigma_{aX} \\ \sigma_{Xa} & \Sigma_X\end{pmatrix}\tag{$*$} $$ donde $\sigma_a>0$ , $\Sigma_X$ es positiva definida, y $\sigma_{Xa}$ ( $n\times 1$ ) es la transposición de $\sigma_{aX}$ .
Supongamos que $(a_t,X_t)$ son i.i.d. $\sim (a,X)$ para $t=1,\ldots,T$ . Entonces, como $T\to\infty$ , $$ \sqrt{T}\left(\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_ta_t-\sigma_{Xa}\right)\overset{L}{\to}N(0,V). $$ Aquí, $\overset{L}{\to}$ denota la convergencia en la distribución. Parece que $V$ debe ser $$ \operatorname{Var}(Xa)=E(a^2XX')-\sigma_{Xa}\sigma_{aX} $$ y no parece que ( $*$ ) tiene suficiente información para evaluar $E(a^2XX')$ . Pero no estoy seguro de mi comprensión. Así que mi pregunta es:
¿Qué debería $V$ ¿ser? ¿Y si añadimos el hecho de que $(a,X')'$ es conjuntamente normal.
