$(ab)^2=(bc)^4=(ca)^x=abc$ Entonces, ¿cuál es el valor de $x$?

Question

Dado que $(ab)^2=(bc)^4=(ca)^x=abc$ ¿Cuál es el valor de $x$?

$2(\log a+\log b)=4(\log b+\log c)=x(\log c+\log a)=\log a+\log b+\log c$

Entonces estoy perdido, ¿hay alguna otra manera más fácil de resolverlo?

Answer 1

Pista: Divide estas dos ecuaciones en

$$(ab)^2 = (ca)^x$$ y $$(bc)^4 = (ca)^x$$

Luego usa $\log$ en ambas ecuaciones y mira qué sucede ;-)

Answer 2

Tomando el logaritmo tenemos: $$2(\log a+\log b)=4(\log b+\log c)=x(\log c+\log a)=\log a+\log b+\log c$$

luego tomando $2(\log a+\log b)=\log a+\log b+\log c$

y $4(\log b+\log c)=\log a+\log b+\log c$

obtendríamos $\log a+\log b-\log c=0$ & $3\log b+3\log c-\log a=0$ y al resolver estas dos ecuaciones obtenemos $\log b=-\log c$

similarmente $\log a=-\log b$ entonces la solución se vuelve obvia......ya que $x=\frac12$

Answer 3

Intentemos resolver esto sin usar logaritmos, de la manera más simple posible. Esto permite extender la solución a valores negativos y complejos de $a$, $b$ y $c$, e incluye un conjunto más interesante de soluciones en el caso específico de $|b|=1.

Si $abc=0$, entonces al menos dos elementos de $\{a,b,c\}$ son $0$, y $x$ puede tomar cualquier valor, excepto $0$ si $0^0=1$.

A partir de ahora, $abc\neq 0$: $$(ab)^2=abc \Rightarrow c=ab$$ reemplazar $c$ por su valor transforma las ecuaciones en: $$(ab)^2=\left(ab^2\right)^4=\left(a^2b\right)^x$$ La primera igualdad entonces da $$a^2b^6=1$$ Reemplazando $a^2$ por $\frac1{b^6}$, tenemos entonces $$\frac1{b^4}=\left(\frac1{b^5}\right)^x \Leftrightarrow b^4=b^{5x}.

Si $b=1$, esto es cierto para todos los $x$ y $a=c=\pm1$

De lo contrario, si $|b|≠1$, se tiene que $\boxed{x=\frac45}$ y $a=\pm\frac1{b^3}$, $c=\pm\frac1{b^2}$. Esta es la solución que buscabas.

Sin embargo, para $|b|=1$ y $b≠1$, la solución anterior sigue siendo cierta, pero no es la única. Definamos $β≠0$ por $b=e^{iβ}$. Las condiciones sobre $x$ entonces se convierten en $$5xβ=4β+2kπ, k∈\mathbb Z$$ dando el conjunto de soluciones $$x=\frac45+\frac{2kπ}{5β}, k∈\mathbb Z.

Esto incluye, por ejemplo, la solución no trivial donde $a=b=i$, $c=-1$ y $x=4$.

Answer 4

$2(\log a+\log b) = 4(\log b+\log c) = x(\log c+\log a ) = \log a + \log b+\log c$

Separando las igualdades en dos,

$$ 2(\log a+\log b)= \log a+\log b+\log c \Rightarrow \log a + \log b - \log c=0 \quad(i) $$

$$ 4(\log b+\log c)=\log a+\log b+\log c\Rightarrow 3(\log b+\log c)-\log a=0 \quad(ii) $$

De la ecuación (i) y (ii), al resolver, obtenemos,

$$ \log a=(3/2)\log c,~\log b=-(\log c)/2 \quad(iii) $$

$$ 4(\log b+\log c)=x(\log c+\log a) \quad(iv) $$

Al poner (iii) en (iv),

$$ -2\log c+4\log c=x\log c+(3x/2)\log c, \\ 2\log c=(5x/2)\log c. $$

Al dividir $\log c$ en ambos lados, $$ 2=(5x/2)\Rightarrow x=4/5. $$

Gracias.