Cómo encontrar la pendiente de las curvas en el origen si la derivada se vuelve indeterminada

Question

Cuál es el método general para encontrar la pendiente de una curva en el origen si la derivada en el origen se vuelve indeterminada. Por ejemplo

Cuál es la pendiente de la curva $x^3 + y^3= 3axy$ en el origen y cómo encontrarlo porque después de seguir el proceso de diferenciación implícita y enchufar $x=0$ y $y=0$ en la derivada obtenemos $0/0$ .

En realidad esta pregunta ya me la hice antes y una respuesta más o menos satisfactoria que obtuve fue

" Para los pequeños $x$ y $y$ los valores de $x^3$ y $y^3$ será mucho menor que $3axy$ por lo que los ceros de la función estarán aproximadamente donde los ceros de $0=3axy$ son es decir, cerca del origen la curva se parecerá a las soluciones de eso, que son sólo los dos ejes de coordenadas. Así que la curva se cruzará a sí misma en el origen, pasando por el origen una vez horizontalmente y otra verticalmente. (Esta es también la razón por la que la diferenciación implícita no puede funcionar en el origen -- el conjunto de soluciones simplemente no se ve como una línea recta allí bajo cualquier aumento)."

Editar

Si aproximo la función diciendo que en (0,0) , el comportamiento está dominado por el término 3axy ya que x^3 e y^3 son muy pequeños y entonces 3axy=0 y entonces las tangentes son x=0 e y=0 . ¿Es hacer esto (decir x=0 e y=0) una aproximación lineal solamente. Porque estoy aproximando la curva con una recta en el origen . Pero la aproximación lineal es la primera derivada (primer término de la serie de Taylor) . Esto no puede ser correcto porque No se pueden formar series de Taylor donde no existe la derivada*.

Y si esto es correcto entonces la función está dada aproximadamente por 3axy=0 en (0,0). Pero, ¿cómo se obtiene la tangente en (0,0)?

Editar:

Es la respuesta dar la razón porque el solpe existe.

Answer 1

Es tan simple como eso: No hay curva (simple), no hay derivada, no hay pendiente.

Answer 2

La curva de la ecuación $x^3+y^3=3axy$ es un folio de Descartes y tiene un doble punto en $(x,y)=(0,0)$ . Por lo tanto, en este punto la curva no tiene una tangente bien definida y, como se señala en la respuesta de Hagen, no tiene derivada ni pendiente.

Pero, se puede preguntar por la pendiente de las dos tangentes en este punto, y se puede encontrar una respuesta utilizando la ecuación paramétrica de la curva: $$ x=\frac{3at}{1+t^3} \qquad y=\frac{3at^2}{1+t^3} $$

Con esto puedes encontrar: $\dot x=\frac{dx}{dt}$ y $\dot y=\frac{dy}{dt}$ y calcular la pendiente $$ \frac{dy}{dx}=\frac{\dot y}{\dot x} $$ o $$ \frac{dx}{dy}=\frac{\dot x}{\dot y} $$ para los dos valores de $t$ que corresponde a los dos pasos diferentes por el origen.

Tenga en cuenta que uno de estos valores es $t=0$ pero el otro es para $t \to \infty$ por lo que hay que evaluar una de las dos pendientes como límite.

Answer 3

Usa la regla de l'Hopital. $ $ Esta regla, cuya demostración es muy compleja, establece que si se obtiene 0/0 o infinito/infinito para alguna función límite $h(x)=f(x)/g(x)$ , puedes tomar la derivada de las funciones superior e inferior y volver a calcular. Así, se haría $f'(x)/g'(x)$ . Si este resultado es 0/0 o infinito sobre infinito, prueba con la siguiente derativa, y la siguiente, y así sucesivamente. En tu caso particular, puede ser confuso porque la función implícita contiene tanto y como x, así que ¿con respecto a cuál tomas la derivada? La forma correcta es tomar la derivada con respecto a x porque, en última instancia, estás resolviendo para dy/dx, incluso si utilizas la implícita. Al diferenciar con respecto a x, recuerda tratar a y como una constante. En este caso, deberías obtener 6x/constante después de una aplicación de l'Hops, con x siendo 0. Por lo tanto, la pendiente en x=0 es efectivamente 0. ps. la derivada es "técnicamente" indefinida aunque se pueda determinar, así que esta es sólo la forma de obtener la pendiente.