¿Qué es una integral que no sea "el área bajo la gráfica"?

Question

Cuál es un posible significado visual de la integral de una función real $x(t)$ ¿algo más que "el área bajo el gráfico"?

Lo pregunto para no pensar en un gráfico cuando piense en una integral, y ver la integral como una propiedad de un punto en espacio infinito.

En el caso discreto de una secuencia real $x(n)$ está la suma, finita o infinita: $x(1) + x(2) + \ldots = x(1)*(1-0) + x(2)*(2-1) + \ldots$

Así también, cuál es el significado visual de esta suma, que, cuando se generaliza a una variable continua, obtenemos la integral.

Answer 1

$f(b)=f(a)+\int_{a}^{b}f^{'}(t)dt$

En otras palabras, "un valor posterior de la función como la suma de todos los pequeños cambios de otro valor anterior".

Answer 2

Acumula la aceleración para conseguir velocidad.
Acumula velocidad para conseguir distancia.
Acumula el ancho para obtener el área.
Acumula el área para obtener el volumen.

Answer 3

En términos intuitivos, una integral puede entenderse como la media de una función sobre un intervalo, o más generalmente sobre un dominio, por la extensión de ese dominio.

Por ejemplo, el área bajo una curva es la anchura del intervalo por la "altura" media de la función.

El centro de gravedad de una forma 3D es la posición media de los puntos, es decir, la integral del vector de posición sobre el volumen.

El desplazamiento de un vehículo en un intervalo de tiempo es la velocidad media multiplicada por el retraso, es decir, la integral de la velocidad.

Una integral acumula las variaciones instantáneas para obtener una variación global.

Answer 4

Siempre que $f$ es la densidad de alguna sustancia, la integral de $f$ es el importe total. Esta interpretación también funciona bien para las integrales múltiples.

Por ejemplo, si $f(x)$ es la densidad de carga eléctrica (carga por unidad de longitud) en una varilla $a \le x \le b$ entonces $\int_a^b f(x) \, dx$ es la cantidad total de carga eléctrica en la varilla.

Y si $f(x,y)$ es la densidad de carga eléctrica (carga por unidad de superficie) en una placa de forma $D$ (un dominio en $\mathbf{R}^2$ ), entonces $\iint_D f(x,y) \, dxdy$ es la cantidad total de carga eléctrica en la placa.

Y si $f(x,y,z)$ es la densidad de carga eléctrica (carga por unidad de volumen) en un sólido de forma $E$ (un dominio en $\mathbf{R}^3$ ), entonces $\iiint_E f(x,y,z) \, dxdydz$ es la cantidad total de carga eléctrica en el sólido.

La carga eléctrica es agradable ya que puede ser tanto positiva como negativa. Si $f$ es positivo, se puede (por ejemplo) pensar en la densidad de masa en su lugar.