p impar prime. Demostrar que si $a\equiv b\pmod p$ entonces $a^p\equiv b^p\pmod p^2$ . Entonces muestra $x^5+y^5=z^5$ no tiene soluciones enteras con $5\not\mid xyz$

Question

Pregunta:
Dejemos que $p$ sea un primo impar. Demostrar que si $a\equiv b \pmod p$ entonces $a^p\equiv b^p \pmod p^2$ . Entonces demuestre la ecuación diofantina $x^5+y^5=z^5$ no tiene soluciones enteras con $5\not\mid xyz$ .

Mi trabajo hasta ahora:
$a\equiv b \pmod p\Longrightarrow a=b+kp$ para algunos $k\in\mathbb{Z}$ así que
$$ a^p = (b+kp)^p = \sum_{i=0}^p {p\choose i}(kp)^i ~b^{p-i} = b^p + k~p^2~b^{p-1} + \sum_{i=2}^p {p\choose i}(kp)^i ~b^{p-i} \equiv b^p\pmod{p^2}.$$

¿Cómo puedo utilizar esto para demostrar esta última afirmación?

Answer 1

Escribe la ecuación de Fermat de exponente $5$ en la forma $x^5+y^5+z^5=0$ . Tenemos $x^5\equiv x \mod 5$ , $y^5\equiv y \mod 5$ y $z^5\equiv z \mod 5$ Por lo tanto $x+y+z\equiv 0\mod 5$ . Sin pérdida de generalidad podemos suponer, porque $5\nmid xyz$ que $x\equiv y\mod 5$ Por lo tanto $x^5\equiv y^5 \mod 25$ y $−z^5 ≡ x^5 + y^5 ≡ 2 x^5 \mod 25$ . Sin embargo, la ecuación $x ≡ y \mod 5$ también implica que $−z ≡ x + y ≡ 2 x \mod 5$ y $−z^5 ≡ 2^5 x^5 ≡ 32 x^5 \mod 25$ . Combinando los dos resultados y dividiendo ambos lados por $x^5$ produce una contradicción $2 ≡ 32 \mod 25$ .

Answer 2

Demostremos por contradicción. Supongamos que $x^5 + y^5 = z^5$ tiene soluciones tales que $xyz$ no es divisible por $5$ . Desde $xyz$ no es divisible por $5$ ninguna de las tres variables es divisible por $5$ y por lo tanto no son congruentes con $0$ modulo $5$ ou $25$ .

Desde $x^5 + y^5 = z^5$ , $x^5 + y^5 \equiv z^5 \pmod {25}$ . $x^5$ no puede ser congruente con $z^5$ claramente, o de lo contrario eso implicaría $y^2 \equiv 0 \pmod{25}$ , haciendo que $y$ divisible por $5$ . Lo mismo ocurre con $y^5$ y $z^5$ .

"Si $a \equiv b \pmod p$ entonces $a^p \equiv b^p \pmod{25}$ " implica "Si $a^p \not \equiv b^p \pmod{25}$ entonces $a \not \equiv b \pmod p$ " por contraposición. Si $x^5 \not \equiv z^5$ entonces $x \not \equiv z \pmod 5$ . $x^5 \not \equiv y^5$ porque si fueran congruentes, entonces tendrías $2k \equiv k \pmod 5$ lo que es imposible si ni $x$ ni $y$ son divisibles por $5$ lo que significa que $x \not \equiv y \pmod 5$ . Ahora hemos demostrado que ninguna de las tres es congruente entre sí módulo $5$ .

Esto también implica que $k^5 \pmod{25}$ tiene un periodo de $5$ . Vamos a nombrar estos valores modulares y a ponerlos en un conjunto: $\{ 0, 1, a, b, c\}$ . Eso debe significar que cada inverso $-a$ , $-b$ y $-c$ son todos equivalentes a algún elemento de ese conjunto. $25$ es impar, así que $-k \not \equiv k \pmod{25}$ . Claramente, $0$ no tiene una inversa, ya que su inversa es ella misma. Sin pérdida de generalidad, el único caso que queda son los pares $-a \equiv b$ y $c \equiv -1$ , lo que hace que el conjunto $\{ -a, -1, 0, 1, a\}$ .

Si $x^5 + y^5 \equiv z^5 \pmod{25}$ , entonces dos de estos términos deben ser un par inverso. No puede ser $x^5$ y $y^5$ o $z^5 \equiv 0$ y no puede ser $x^5$ y $z^5$ tampoco. Si ese fuera el caso, $2x^5 \equiv -y^5$ pero como $2^5 \equiv 7 \pmod{25}$ y $7$ no puede encajar en este conjunto bajo estas condiciones, una contradicción.