Convergencia uniforme de las derivadas, Tao 14.2.7.

Question

Esto es ex. 14.2.7. del libro Análisis II de Terence Tao.

Dejemos que $I:=[a,b]$ sea un intervalo y $f_n:I \rightarrow \mathbb R$ funciones diferenciables con $f_n'$ converge uniformemente a una función $g:I \rightarrow \mathbb R$ . Supongamos que $\exists x_0 \in I: \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_n(x_0) = L \in \mathbb R$ . Entonces el $f_n$ convergen uniformemente a una función diferenciable $f:I \rightarrow \mathbb R$ con $f' = g$ .

No se nos da que el $f_n'$ son continuas, pero da a entender que $$ d_{\infty}(f_n',f_m') \leq \epsilon \Rightarrow |(f_n(x)-f_m(x))-(f_n(x_0)-f_m(x_0))| \leq \epsilon |x-x_0| $$ Esto se puede demostrar mediante el teorema del valor medio. Mi pregunta es: ¿Cómo me ayuda esto a demostrar el teorema?

Answer 1

Desde $\{f_n(x_0)\}$ converge, para cada $\epsilon > 0$ y $n, m$ lo suficientemente grande tenemos $$ \begin{align} \lvert f_n(x) - f_m(x) \rvert &\leq \left\lvert (f_n(x)-f_m(x))-(f_n(x_0)-f_m(x_0)) \right\rvert + \left\lvert f_n(x_0) - f_m(x_0) \right\rvert \\ &\leq \epsilon \left\lvert x - x_0 \right\rvert + \epsilon \\ &\leq \epsilon (b - a) + \epsilon \end{align} $$ Por lo tanto, $f_n$ converge uniformemente en $I$ a una función $f$ Además, para cada $\epsilon > 0$ y $m, n$ suficientemente grande, la desigualdad $$ \left\lvert \frac {f_n(y) - f_n(x)} {y - x} - \frac {f_m(y) - f_m(x)} {y - x} \right\rvert \leq \epsilon $$ es válida para cada $x\neq y\in I$ . (Es la misma desigualdad de la pista, pero ahora podemos suponer que se mantiene para el genérico $y\in I$ porque mostramos $f_n(y)$ converge para todo $y \in I$ )
La relación anterior implica que $\frac {f_n(y) - f_n(x)} {y - x}$ converge uniformemente a $\frac {f(y) - f(x)} {y - x}$ .

Ahora podemos escribir $$ \left\lvert\frac {f(y) - f(x)} {y - x} - g(x) \right\rvert \leq \\ \left\lvert\frac {f(y) - f(x)} {y - x} - \frac {f_n(y) - f_n(x)} {y - x} \right\rvert + \left\lvert \frac {f_n(y) - f_n(x)} {y - x} - f_n'(x)\right\rvert + \left\lvert f_n'(x) - g(x) \right\rvert $$ Para cada $\epsilon > 0$ y $n$ lo suficientemente grande obtenemos $$ \left\lvert\frac {f(y) - f(x)} {y - x} - g(x) \right\rvert \leq 2\frac \epsilon 3 + \left\lvert \frac {f_n(y) - f_n(x)} {y - x} - f_n'(x)\right\rvert $$ y para $y$ lo suficientemente cerca de $x$ $$ \left\lvert\frac {f(y) - f(x)} {y - x} - g(x) \right\rvert \leq \epsilon $$ Así que $f'(x)$ existe y es igual a $g(x)$ .

Editar

Para aclarar la cuestión planteada por @DavidC.Ullrich.

Desde ${f'_n}$ converge uniformemente, existe $N \in \mathbb N$ tal que $\lVert f'_n - f'_m \rVert_\infty < \epsilon$ para todos $n, m > N$ Es decir $$ |f'_n(x) - f'_m(x)| < \epsilon \qquad \forall m,n > N, \forall x\in I $$

Así, mediante el teorema del valor medio para cada $m,n > N$ y para cada $x \neq y\in I$ podemos escribir

$$ \left\lvert \frac {f_n(y) - f_n(x)} {y - x} - \frac {f_m(y) - f_m(x)} {y - x} \right\rvert = \\ \left\lvert \frac {f_n(y) - f_m(y)} {y - x} - \frac {f_n(x) - f_m(x)} {y - x} \right\rvert = \\ \left\lvert \frac {(f_n - f_m)(y)- (f_n - f_m)(x)} {y - x}\right\rvert = \\ \lvert (f_n - f_m)'(\xi) \rvert = \\ \lvert f_n'(\xi) - f_m'(\xi)\rvert < \epsilon $$

Answer 2

Debido a la convergencia uniforme del $f'_n$ puede encontrar un $N$ por cada $\epsilon$ tal que $(f'_n(x) - g(x)) \leq \epsilon$ para todos $n \geq N$ lo que equivale a $d_\infty(f'_n,g) \leq \epsilon$ . Así, $d_\infty(f_n',g) \to0 $ como $n\to\infty$ .

Ahora, $\int_{a}^x f_n'(y) - g(y) dy \leq d_\infty(f_n',g)|x-a| \leq d_\infty(f_n',g)|b-a|$ . Desde $d_\infty(f_n',g) \to0 $ como $n\to\infty$ se consigue que $\int_a^x f_n'(y)dy$ converge uniformemente a $\int_a^x g(y)dy$ .

En general, eso no se trasladará a $f_n(x) = c_n + \int_a^x f_n'(y)dy$ porque el $c_n$ podría ser elegido maliciosamente. Pero si $\lim_{n\to\infty}f_n(x) = \lim_{n\to\infty} c_n + \int_a^x f_n'(y)dy$ converge para una $x$ entonces $\lim_{n\to\infty}c_n$ debe converger, ya que el segundo término también converge (¡todo uniformemente!).

Lo que a su vez significa que el límite debe converger realmente para todos $x$ porque $\lim_{n\to\infty}c_n$ no depende en realidad de $x$ . Y por la misma razón (y porque el otros converge uniformemente), la convergencia es incluso uniforme.