¿La norma de una función suave es suave?

Question

Mis apuntes de clase parecen usar esto, aunque no puedo evitar la sensación de que es incorrecto. Dejemos que $\phi: [a,b] \to \mathbb{R}^n$ para $n \ge 2$ sea suave (infinitamente diferenciable) y satisfaga $|\phi '(t)| \neq 0$ para todos $t \in [a,b]$ . Entonces, $|\phi'(t)|$ también es una función suave.

¿Alguien tiene una buena prueba de esto? (Mi primer "contraejemplo" fue $\log$ pero no satisface la condición $|\phi '(t)| \neq 0$ .) Además, es $|\phi(t)|$ ¿también una función suave?

Aunque esto es de un curso de geometría diferencial elemental, mi pregunta es esencialmente una pregunta de cálculo...

Answer 1

Dejemos que $g(v) = \langle v, v\rangle = \lVert v\rVert^2$ y $f(t) = \sqrt{t}$ . Entonces $\lVert \phi'(t)\rVert = \left(f\circ g\circ\phi'\right)(t)$ .

Usted sabe que $\phi'$ es suave y no evanescente.

Es fácil ver que $\nabla_g(v) = 2v$ En otras palabras, $\nabla_g$ es el doble de la identidad, por lo que $g$ es suave. Se deduce que la composición $g\circ \phi'$ es suave.
Además, tenemos que $g(v) = 0 \iff v = 0$ de lo que se desprende que la composición $g\circ\phi'$ también es no evanescente.

Por último, es un simple ejercicio de cálculo univariante demostrar que $f:[0,+\infty)\longrightarrow \Bbb R$ es suave lejos del origen. Por lo tanto, la composición $f\circ (g\circ \phi')$ es suave.