Arreglos restringidos de seis 0's, cinco 1's y cuatro 2's

Question

La tarea consiste en encontrar el número de disposiciones de seis 0, cinco 1 y cuatro 2 con la restricción de que el primer 0 preceda al segundo 1.

Lo he calculado encontrando el número total de arreglos (630630), y restando los arreglos no válidos

(i) primero ordenar el 11 seguido del resto de los 1's y 0's

(ii) encajar los 2's en los "intersticios" en varios patrones

Obtengo una respuesta (espero que correcta) de 515970, pero el proceso parece burdo, y la pregunta es:

¿Existe alguna forma más hábil de solucionarlo?

Answer 1

Hay 15 plazas por cubrir. 11 se llenarán con ceros y unos. La elección de esas 11 ranuras se puede hacer de 15 maneras de elegir 11.

Una vez elegidas las 11 plazas, ¿cuántas formas legítimas hay de ocuparlas? Es más fácil contar las formas ilegítimas, las que tienen unos en las dos primeras ranuras; entonces las otras 9 ranuras tienen tres unos y seis ceros, así que 9-elegir-3 formas. Así que el número de formas legales es 11-elección-5 menos 9-elección-3.

Entonces la respuesta final es $${15\choose11}\left({11\choose5}-{9\choose3}\right)$$