Esto es una continuación de este otro pregunta Lo pregunté antes.
Dado que @Arnaud D. demostró en mi pregunta anterior que el resultado no puede mantenerse bajo una hipótesis tan débil, reforcé la hipótesis sobre la función $F$ .
Una función $F\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ se llama función de distancia si verifica las tres condiciones:
-
$F(x)\geqslant 0$ y $F(x)=0\iff x=0$ ,
-
$F(tx)=\vert t\vert F(x)$ ,
-
$F$ es continua.
Quiero demostrar el siguiente resultado.
Dejemos que $F\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ sea una función de distancia. Si $w\in \mathrm{GL}_n(\mathbb R)$ entonces existe una constante $C_w$ (que no depende de $X$ ), de manera que $$F(w(X))\leqslant C_wF(X). \quad \forall X \in \mathbb{R}^n$$
Creo que debería usar algo como $\Vert w(W)\Vert\leqslant \Vert w\Vert \cdot \Vert X\Vert$ o tratar de utilizar una matriz $W=(w_{i,j})$ para $w$ y calcular las coordenadas de $w(x)$ en términos de $w_{i,j}$ y $x_i$ .
Pero no puedo entenderlo. Cualquier pista o solución sería muy apreciada.
Observe que el contraejemplo proporcionado por @Arnaud D. en mi pregunta anterior no funciona aquí ya que no verifica $F(x)=0\iff x=0$ .
