Encontrar si existe una matriz simétrica dados los vectores propios

Question

Estoy tratando de resolver este problema a continuación:

Estoy un poco perdido sobre cómo enfocar el problema. Lo único que puedo observar es que los dos últimos vectores propios son combinaciones lineales del primero y

\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

No estoy seguro de si eso es relevante o sólo una coincidencia. Cualquier ayuda sería estupenda.

Answer 1

Si $A$ es simétrica, $Av= \lambda v$ y $Aw = \mu w$ y $0 \neq\lambda- \mu $ entonces $$\lambda \langle v, w\rangle = \langle Av, w\rangle = \langle v, Aw\rangle= \mu \langle v, w\rangle$$

¿así que...? ¿Puedes terminar con esta pista?