Función biyectiva de $\Bbb N ^{n \times m}$ a $\Bbb N$ ?

Question

Estoy trabajando en una función hash y me preguntaba si existe una función que pueda tansformar una matriz en una natural siendo biyectiva. Por ejemplo:

$A=\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 2&0&1\\ 0&1&2 \end{bmatrix}$

Estoy tratando de encontrar una manera de transformar esa matriz en $\Bbb N$ con una función biyectiva. Esta función tiene su dominio en todas las combinaciones que se pueden hacer con los números en $A$ (cuatro $0$ 's, tres $1$ y dos $2$ ') y la imagen tiene que ser $\{0,\dots, \#\text{Combinations}\}$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Nota: al leer la pregunta detenidamente, parece diferir del título. He respondido al título.

---

Un inyectiva función de $3\times 3$ matrices a $\mathbb{N}$ es $$f(M)=2^{m_{1,1}}3^{m_{1,2}}5^{m_{1,3}}7^{m_{2,1}}11^{m_{2,2}}13^{m_{2,3}}17^{m_{3,1}}19^{m_{3,2}}23^{m_{3,3}}$$ donde $m_{i,j}$ denota el $(i,j)$ entrada de $M$ .

Una función biyectiva explícita sería bastante complicada, pero debe existir debido a la Teorema de Cantor-Schroder-Bernstein y el hecho de que hay muchas funciones inyectivas que van en sentido contrario. Por ejemplo, $$g(a)=\left(\begin{matrix}a&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right)$$

Si realmente quieres una biyección explícita, puedes intentar generalizar la construcción en esta respuesta .