Dejemos que $ABC$ sea un triángulo isósceles con $AB=AC$ . Los triángulos equiláteros se construyen sobre los lados del triángulo. Sea $BCP$ y $ACQ$ sean triángulos equiláteros exteriores y $R$ sea el punto donde $AP$ y $BQ$ se cruzan. Sea $ABU$ y $BCV$ triángulos internos construidos hacia adentro $ \triangle ABC$ y $W$ el punto de intersección de $AV$ y $CU$ . Mostrar $RD= DW$ donde $D$ es el pie de la altitud desde $A$ a $BC$ .
Hay dos configuraciones posibles, esta es una de ellas.
Claramente, $A,V,R,D$ y $W$ son colineales, ya que la bisectriz de $BC$ pasa por todos ellos.
$ \angle VBA= \angle CBU = \angle ACV = 60 - \angle B= 60 - \angle C$
$ \angle A= 180 - 2\angle B= 180 - 2( 60 - \angle ACV)= 60 + 2\angle ACV$
$ \angle ABQ = \angle AQB = \frac {120 - \angle A}{2}= 30 - \angle ACV$
Entonces:
$ \angle VBA + \angle ABQ + \angle RBD= \angle ACV + \angle ABQ + \angle RBD = 60$
$ \angle ACV + (30 - \angle ACV) + \angle RBD = 60$
$ \angle RBD = 30$
Así que para completar el problema sólo tenemos que demostrar que $ \angle RBD= DCW=30$ o para demostrar que $QB$ es paralelo a $CW$ . Hice varias cosas pero no pude demostrarlo.
Una de mis ideas era ampliar $BA, CB$ y $BW$ hasta la intersección $CV, BV$ y $CP$ en $G,E$ y $H$ respectivamente. Entonces: $ \angle VEC = \angle VGB = \angle BHC$ y $ \angle BHC + \angle BGC = \angle BHC + BEC = 180 $ y por lo tanto $B,C, H , G $ y $ E$ se encuentran en un círculo. Eso fue lo único que pude averiguar. Pueden ayudarme a terminar por favor. Gracias de antemano.
