Caracterización: Morfismo inyectivo de las esquilas

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico arbitrario y $\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ sea un morfismo de gavillas sobre $X$ . Llamamos $\varphi$ inyectiva si $\mathcal{K}:=\ker(\varphi) = 0$ .

Necesito demostrar que esto es equivalente a la afirmación de que para todo $p \in X$ los morfismos $\varphi_p : \mathcal{F}_p \to \mathcal{G}_p$ inducidos en los gérmenes son todos inyectables.

Mis principales problemas son los siguientes:

• Vergonzosamente, no entiendo lo que $\ker(\varphi) = 0$ realmente significa. Digamos que tenemos gavillas sobre anillos. Entonces el núcleo es el anillo cero. Pero ¿significa esto también que para cualquier conjunto abierto $U \subset X$ las secciones $\mathcal{K}(U) = \ker(\varphi_U)$ ¿es también el anillo cero?
• Sigo sin intuir los tallos y los gérmenes. Hemos definido los tallos como algún conjunto dotado de alguna extraña relación de equivalencia y los gérmenes como sus clases de equivalencia. Tampoco sé qué significa la inyectividad para el $\varphi_p$ ni cómo obtengo las conclusiones deseadas con estos.

¿Puede alguien explicarme esto? Gracias de antemano.

Answer 1

Para tu primera pregunta, sí, eso es exactamente lo que significa decir que la gavilla del núcleo es 0. Para tu segunda pregunta, ¿has estudiado análisis complejo? El teorema de la identidad afirma que si dos funciones holomorfas coinciden en un subconjunto abierto, entonces son idénticas dondequiera que ambas estén definidas. Por tanto, tiene sentido identificar las funciones holomorfas que coinciden en algún subconjunto abierto y sólo considerar las clases de equivalencia, también conocidas como gérmenes. Esta es exactamente la relación de equivalencia que define el tallo de una gavilla.

El tallo de una gavilla se define como el límite directo de la gavilla con sus mapas de restricción: $$ \mathcal{F}_p = \varinjlim_{U \ni p} \mathcal{F}(U) $$ tomada sobre todos los conjuntos abiertos $U \subseteq X$ que contiene $p$ . Dado un morfismo $\varphi$ de gavillas, la propiedad universal del límite directo produce un mapa inducido en los tallos. Más concretamente, podemos elegir un representante $(s,U)$ para un germen $s|_p$ . Como el morfismo conmuta con los mapas de restricción, entonces \begin{align*} \varphi_p(s|_p) &= \varphi_p(\operatorname{res}^U_p(s)) = \operatorname{res}^U_p(\varphi_U(s)) \, . \end{align*} (Nótese que el primer mapa de restricción es para la gavilla $\mathcal{F}$ , $\operatorname{res}^U_p: \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}_p$ mientras que la segunda es para la gavilla $\mathcal{G}$ , $\operatorname{res}^U_p: \mathcal{G}(U) \to \mathcal{G}_p$ .) Así que para calcular la acción del mapa de tallos $\varphi_p$ sobre un germen, simplemente calculamos la acción del morfismo sobre un representante para el germen, y luego restringimos al tallo.

EDIT : Aquí hay una solución al problema:

Supongamos que $\varphi_p$ es inyectiva para todo $p$ . Supongamos que $U$ es un conjunto abierto y $s \in \ker(\varphi_U)$ Así que $\varphi_U(s) = 0$ . Dado $p \in U$ entonces $$ \varphi_p(s|_p) = \varphi_p(\text{res}^U_p(s)) = \text{res}^U_p(\varphi_U(s)) = \text{res}^U_p(0) = 0 \, . $$ Desde $\varphi_p$ es inyectiva, entonces $s|_p = 0$ por lo que existe un conjunto abierto $V_p \subseteq U$ con $p \in V_p$ tal que $\text{res}^U_{V_p}(s) = 0$ . Tenga en cuenta que la colección $\{V_p\}_{p \in U}$ forma una cubierta abierta de $U$ . Desde $\mathcal{F}$ es una gavilla y $\text{res}^U_{V_p}(s) = 0$ para todos $p \in U$ entonces $s = 0$ por determinación local (el primer axioma de la gavilla). Así, $\ker(\varphi)(U) = \ker(\varphi_U) = 0$ para todos $U$ .

A la inversa, supongamos que $\ker(\varphi_U) = 0$ para todos $U$ . Dado $s|_p \in \ker(\varphi_p)$ Elige un representante $(s,U)$ para $s|_p$ . Entonces $$ 0 = \varphi_p(s|_p) = \varphi_p(\text{res}^U_p(s)) = \text{res}^U_p(\varphi_U(s)) \, . $$ Entonces existe un conjunto abierto $V \subseteq U$ que contiene $p$ tal que \begin{align*} 0 = \operatorname{res}^U_V(\varphi_U(s)) = \varphi_V(\operatorname{res}^U_V(s)) \, . \end{align*} Desde $\varphi_V$ es inyectiva, entonces $\operatorname{res}^U_V(s) = 0$ Así que $$ s|_p = \operatorname{res}^U_p(s) = \operatorname{res}^V_p(\operatorname{res}^U_V(s)) = \operatorname{res}^V_p(0) = 0 \, . $$