mostrando que la norma l2 es menor que en la l1

Question

¿Cómo puedo demostrar que L2<=L1

$||x||_1\ge ||x||_2$

y también tenemos que

$\|x\|_2\leq \sqrt m\|x\|_{\infty}$

en cuanto a la primera parte, puedo decir que:

$$ \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x^2 } \leq {\sum\limits_{i=1}^n {\sqrt x}^2 } $$

Answer 1

Supongo que usted está usando finito dimensionales espacios vectoriales (se parece a un familiar cuestión de golub y préstamo).

\begin{align} ||x||_2^{2}=\sum_{i=1}^{N}|x_i|^2\leq\left(\sum_{i=1}^{N}|x_i|^2+2*\sum_{i,j,i\neq j}|x_i||x_j|\right)=||x||_1^2 \end{align}

Esto implica $||x||_2\leq ||x||_1$. Ahora \begin{align} ||x||_2^{2}=\sum_{i=1}^{N}|x_i|^2\leq N*\max_{i}(|x_i|^2)=N||x||_{\infty}^{2} \end{align} Esto implica $||x||_2\leq \sqrt{N}||x||_{\infty}$

Answer 2

De hecho, podemos hacer algo más fuerte que esta

$${\Vert a \Vert}_p = (\sum_{i=0}^n |a_i|^p)^{1/p} \le (\sum_{i=0}^{n-1} |a_i|^p)^{1/p} + |a_n^p|^{1/p} \le \cdots \le \sum_{i=0}^n |a_i| = {\Vert a \Vert}_1$$

Donde cada una de las desigualdades es el uso de la desigualdad de Minkowski. Por otra parte, podemos generalizar esta idea para mostrar

$${\Vert * \Vert}_q \le {\Vert * \Vert}_p \text{ whenever } p\le q$$

Es un buen ejercicio.