¿Por qué es $\theta \not \in C^{\infty}(S^1)$ ? Sé que desde $\int_{S^1} d\theta = 2\pi$ entonces $d\theta$ no es exacta. Por lo tanto, ya que $d(\theta)=d\theta$ , $\theta$ no debe ser $C^{\infty}$ pero parece que debería ya que es simplemente la función de identidad. Gracias por la ayuda.
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Para empezar, ¿qué es $\theta$ ? El hecho de que $d\theta$ es la notación utilizada para un determinado $1$ -forma no significa que tengamos tal cosa como " $\theta$ ". Después de todo, $d\theta$ podría ser sólo eso, una pieza conveniente de notación. Pero sí, en realidad es más que eso...
Supongamos que tenemos una familia de funciones $\theta_\alpha$ cada uno de los cuales es $C^\infty$ suave en algún arco abierto $U_\alpha\subsetneq S^1$ . Supongamos también que estos arcos cubren $S^1$ y que siempre que $U_\alpha\cap U_\beta$ es no vacía, la diferencia $\theta_\alpha-\theta_\beta $ es localmente constante en la intersección. Entonces podemos definir un $1$ -forma $d\theta$ dejando que sea $d\theta_\alpha$ dentro de cada $U_\alpha$ y observando que coinciden en los solapamientos. (Utilizando una partición de la unidad, se puede expresar esta definición en términos más precisos). Todo esto se aplica a cualquier colector, no sólo $S^1$ .
En $S^1$ podemos considerar la familia de todos los subarcos propios $U_\alpha$ y elegir una rama continua (por tanto, suave) del argumento dentro de cada subarco. O simplemente utilizar $U_j=S^1\setminus \{a_j\}$ para algunos puntos distintos $a_1,a_2$ .
Avi
Puntos
21
Denotando por $\theta$ el argumento de un punto de $S^1$ entonces $\theta$ no es una función sobre $S^1$ es una función multivaluada. Por ello, no es suave. Para definir $d\theta$ El enfoque indicado por @75064 es el correcto. En otras palabras, hay que "cortar" $S^1$ , viéndolo como un colector con una carta que consiste en arcos abiertos con intersecciones no triviales.
