Definamos $SX = X \times I /(X \times \partial I \cup \lbrace x_0 \rbrace \times I)$ y el producto estrella $X \wedge Y = X \times Y /(\lbrace x_0 \rbrace \times Y \cup X \times \lbrace y_0 \rbrace)$ .
Me gustaría demostrar que $SX \simeq \mathbb{S}^1 \wedge X$ ¿es esto cierto en general o depende de $X$ ? Según la wikipedia sobre suspensión reducida esto debería ser cierto.
Así que tomé el siguiente diagrama :
$$X \times I \overset{f}{\longrightarrow} \mathbb{S}^1 \times X \overset{q}{\longrightarrow} S^1 \wedge X$$
Donde $q$ es la proyección y $f$ viene dada por $f(x,t) = (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t),x)$ . Está claro que $q \circ f$ es continua, sobreyectiva, y se llama $p$ la proyección $p : X \times I \longrightarrow SX$ que $q \circ f$ es costante en la fibra de $p$ por lo que existe un mapa continuo y biyectivo $\tilde{f} : SX \longrightarrow \mathbb{S}^{1} \wedge X$ .
¿Y la búsqueda de una inversa? Debería encontrar un mapa continuo de $\mathbb{S}^1 \times X \longrightarrow X \times I$ primero que funcione, pero sin poder encontrar uno sencillo. Algún método o solución más fácil para probar que $\tilde{f}$ es un homeomorfismo sería apreciado.
Editar : No estoy seguro de que esto sea cierto, he aquí por qué : Es un hecho que "la suspensión reducida iterada k de X es homeomorfa al producto de aplastamiento de X y una k-esfera" según este . Así que debería ser cierto que $\Sigma X \simeq \mathbb{S}^{1} \wedge X$ y $SX \simeq \mathbb{S}^{1} \wedge X$ . Por lo tanto, debe ser cierto en general que $SX \simeq \Sigma X$ . Si esto es cierto creo que excluye el homeomorfismo, pero cree necesaria alguna hipótesis sobre $X$ para demostrar esto último también, ya que $\lbrace x_0 \rbrace \times I$ ser contráctil
