¿Hay alguna función $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ cuyas series de Taylor no existen en $I$ incluso si $f$ es infinitamente diferenciable en $I$ ?

Question

Dejemos que $$T[f(x),a]=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)\,(x-a)^n}{n!}$$ dado que $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ que $I\subseteq\mathbb{C}$ que $a\in I$ y que $f^{(n)}(a)$ existe para todos los $n\in\mathbb{N\cup\{0\}}$ .

¿Existe alguna función $f$ tal que $T[f(x),a]$ no existe en $I$ ?

Recuerda que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ , tenga en cuenta que es posible que $I$ para incluir o no incluir los números que tienen partes imaginarias, y observar que las funciones $f:f(x)\neq T[f(x),a]$ son irrelevantes si $T[f(x),a]$ se define.

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Editar 21 de agosto de 2017

Después de pensarlo mucho, creo que esto se reduce a si existe o no una función tal que $f^{(n)}(a)\ge n!$ como $n\to\infty$ .

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Edición 3 de septiembre de 2017

He estado considerando la función $\Pi(x)=\Gamma(x+1)$ . Puede encontrar una discusión sobre el muy desagradable $n$ th derivado aquí . Sin embargo, he pasado un gráfico por la calculadora gráfica de la web Desmos . Básicamente, cada barra superior es una derivada superior de $\Pi(x)$ y abarca el intervalo positivo en el que $\Pi^{(n)}(x)\ge n!$

Una vez que llegué a $\Pi^{(4)}(x)$ , empezó a colapsar, por lo que la barra púrpura está incompleta (si es que debía detenerse alrededor de $x=5.3$ , entonces habría una línea vertical en negrita).

Para mí, esta pequeña muestra parece sugerir que $\Pi^{(n)}(a)\ge n!$ para $a$ al menos mayor o igual que $2$ , lo que haría que los coeficientes de $T[\Pi(x),a]$ sean todos mayores o iguales a $1$ Así que $T[\Pi(x),a]$ divergirían.

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Answer 1

Considere primero $g: \mathbb R\to\mathbb R$ , $$ g(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \mathrm{e}^{-1/x^2} & \text{if $x>0$},\\ 0 & \text{otherwise.} \end{array} \right. $$ Entonces $g\in C^\infty(\mathbb R)$ y $f^{(n)}(0)=0$ para todos $n\in\mathbb N$ . Así, la serie de Taylor $\sum_{n=0}^\infty \frac{g^{(n)}(0)\,x^n}{n!} $ existe pero $g(x)\ne\sum_{n=0}^\infty \frac{g^{(n)}(0)\,x^n}{n!}$ , para $x>0$ .

Utilizando este ejemplo, puede crear situaciones similares para las funciones $f: \mathbb C\to\mathbb C$ cuando todas las derivadas parciales en $x$ y $y$ existe.