Necesito calcular la segunda derivada de la siguiente expresión cuática: $$x^H A^H x x^H A x$$ donde está Hermitian. He intentado calcular la primera derivada, y si no me equivoco, debería serlo: $$(A+A^H) x x^H (A+A^H) x$$ Pero entonces, no sé cómo proceder para calcular la segunda derivada. ¿Podría alguien esbozar los pasos que debo seguir? Gracias.
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Definir las variables escalares $$\eqalign{ &\phi &= x^HAx = (A^Tx^*)^Tx \cr &\phi^* &= x^HA^Hx = (A^*x^*)^Tx \cr &\psi &= \phi^*\phi \cr }$$ Encuentra el gradiente de tu función $(\psi)$ con respecto a $x$ , tratando $x^*$ como variable independiente. $$\eqalign{ d\phi &= (A^Tx^*)^T\,dx \cr d\phi^* &= (A^*x^*)^T\,dx \cr d\psi &= \phi\,d\phi^* + \phi^*\,d\phi \cr &= (\phi A^*x^* + \phi^*A^Tx^*)^Tdx \cr g = \frac{\partial\psi}{\partial x} &= A^*x^*\phi + A^Tx^*\phi^* \cr g^* = \frac{\partial\psi}{\partial x^*} &= Ax\phi^* + A^Hx\phi \cr }$$ No es que lo necesitemos, pero la última ecuación es una consecuencia del hecho de que $\psi=\psi^*\,$ (es real).
Ahora el hessiano es sólo el gradiente del gradiente, por lo que $$\eqalign{ dg &= (A^*x^*)\,d\phi + (A^Tx^*)\,d\phi^* \cr &= \Big((A^*x^*)(A^Tx^*)^T + (A^Tx^*)(A^*x^*)^T\Big)\,dx \cr H = \frac{\partial g}{\partial x} &= A^*x^*x^HA + A^Tx^*x^HA^H \cr }$$ Nótese que el hessiano es simétrico, pero no es hermitiano.
fianchetto
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El segunda derivada de una función multivariable $f=f(x_1,\ldots,x_n)$ se suele expresar como su matriz hessiana $$ Hf(x_1,\ldots,x_n)=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}\right)_{i,j=1}^n $$ Aquí $$ f(x)=x^tA^txx^tAx=(x^tBx)^2, \quad \text{where $ B=\frac{1}{2}(A+A^t)=(b_{ii}) $}. $$ Por lo tanto, $$ \frac{\partial f}{\partial x_i}=4(x^tBx)(Bx)_i $$ y $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}=8(Bx)_i(Bx)_j+4(x^tBx)b_{ij}, $$ y por lo tanto $$ Hf(x)=8Bx(Bx)^t+4(x^tBx)B $$
