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Explica por qué un sistema de más de 2 ecuaciones sólo tiene una solución

Se trata de un problema de tareas en el que me gustaría que me orientaran.

Me han dado $$A = \begin{bmatrix} 3 & 7 & -4\\ 5 & -2 & 6\\ 2 & 1 & -1\\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

La pregunta: Que $\vec{b}$ sea un vector en $R^4$ de manera que el sistema $A\vec{x} = \vec{b}$ tiene una solución. Explica por qué sólo tiene una solución .

Ahora, he empezado a intentar resolver el sistema usando el vector $b$ :

$$\begin{bmatrix} 3 & 7 & -4\\ 5 & -2 & 6\\ 2 & 1 & -1\\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4} \end{bmatrix}$$

Esto resultó ser un gran lío, así que voy a suponer que esta fue la manera equivocada de hacerlo. Luego pensé en relacionarlo con los pivotes/posiciones de pivote pero aún no entiendo bien todo eso. ¿Alguien puede ofrecerme alguna sugerencia?

EDITAR:

$$A =\begin{bmatrix} 3 & 7 & -4\\ 5 & -2 & 6\\ 2 & 1 & -1\\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Entonces, basándome en la forma reducida anterior, ¿puedo asumir que esta matriz sólo tiene una solución porque no hay variables libres?

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babubba Puntos 1213

Si $c \in \mathbf R^3$ es un vector tal que $Ac = b$ entonces las soluciones de $Ax = b$ son precisamente $$ c + \operatorname{null} A = \{c + d : d \in \mathbf R^3 \text{ and } Ad = 0\}. $$ Si puedes usar o justificar esto, entonces todo lo que necesitas hacer es mostrar que el sistema homogéneo $Ax = 0$ sólo tiene la solución trivial $x = (0, 0, 0)^T$ . Esto es cierto si y sólo si después de realizar operaciones elementales de fila a $A$ para obtener una matriz en forma de escalón de fila hay exactamente tres (el máximo número posible) pivotes. Si tuviera menos pivotes, entonces habría variables libres.

¿Sabes cómo poner una matriz en forma de escalón de fila? Sin duda, podemos repasar eso.

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