Ejemplo de $1$ -afirmación categórica que realmente no se sostiene $\infty$ -Categóricamente

Question

En muchas introducciones a $\infty$ -teoría de las categorías (en el sentido de Lurie y Joyal, por lo que las cuasicategorías), se explica que muchos (si no la mayoría) $1$ -Los enunciados categóricos tienen análogos en $\infty$ -categorías que son verdaderas, aunque la prueba es a menudo (si no siempre) más complicada.

Me preguntaba qué tipo de excepciones hay a esta regla, si es que hay alguna:

¿Existe una $1$ -afirmación categórica que no tiene un análogo conocido en $\infty$ -¿teoría de la categoría que se conjetura/aprueba como verdadera? O mejor aún, ¿existe una $1$ -categoría en la que tenemos pruebas sólidas de que hay no pudo sea un válido $\infty$ -¿analógico?

("pruebas sólidas" podrían significar cualquier cosa, desde contraejemplos a los análogos ingenuos hasta buenas razones heurísticas por las que un análogo no debería aguantar)

Si no hay ningún ejemplo conocido de este tipo, esto me lleva a una segunda pregunta :

¿Se está trabajando en tratar de automatizar el proceso de pasar de $1$ -CT a $\infty$ -CT, por ejemplo, un "teorema de traslación" que diría algo parecido a "si un enunciado $P$ [añadir hipótesis técnicas] se cumple en CT, entonces la declaración $f(P)$ tiene en $\infty$ -CT" donde $f$ sería alguna forma explícita de transformar un $1$ -Claro que la declaración de la TCE a un $\infty$ -Declaración del TC ?

(por supuesto, como siempre con las cuasicategorías, $\infty$ -categoría aquí significa en realidad $(\infty,1)$ -categoría)

Answer 1

Para un ejemplo algo vago, "Existe un concepto natural útil de topos elementales" ha tenido algunos problemas. Shulman ha conjeturado una definición, pero las cosas son bastante complicadas, ya que la noción 1-categórica de topos elementales es finita, y ese es uno de sus desideratos clave, pero cualquier tipo de $\infty$ -topos parece requerir intrínsecamente objetos "infinitos" como el espacio del bucle $\mathbb{Z}$ del círculo. También es difícil entender qué es una noción finita de $\infty$ -La relación de equivalencia debería ser, ya que se entiende bastante bien en las topos de Grothendieck que se trata de la realización geométrica de los objetos simpliciales. Todo este aparente comportamiento infinito inherente es un obstáculo importante para los esfuerzos de la teoría de tipos de homotopía para, en una interpretación, dar un lenguaje interno para $\infty$ -topos interpretables en un ordenador.

Una afirmación más concreta que se sabe específicamente que es falsa: "Todo topos de Grothendieck es de la forma 'gavillas en algún sitio'". El $\infty$ -topos que son gavillas en un sitio son, por ejemplo, hipercompletos, una propiedad con contraejemplos explícitos entre los generales $\infty$ -propósitos.

Para un contraejemplo más elemental, la fórmula que expresa cualquier colímite como coigualador no se cumple en un $\infty$ -categoría. Sin embargo, es cierto que cualquier $\infty$ -que admite coproductos y exclusiones es cocompleta; sin embargo, hay que realizar una construcción iterativa infinita (¡ahí está de nuevo!) para construir un colímite general a partir de ellos.

En realidad no tengo nada que decir sobre la pregunta final, excepto que no veo ninguna razón para pensar que deba existir ese proceso automático. Hay varios esfuerzos para expresar tanto $\infty$ -La teoría de la categoría en términos de la teoría de la categoría ordinaria como sea posible, como el programa de Riehl y Verity y una parte de la teoría de los derivadores, pero esto no es exactamente lo que estás pidiendo.