Teorema del valor medio de una función multivariante $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$

Question

Estoy revisando los exámenes de maestría y no recuerdo el cálculo multivariable que se necesita para demostrar que esto es cierto. Una referencia sería suficiente. Gracias.

Supongamos que $x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{R}^2$ son tres puntos del plano que no se encuentran en una recta, y denotamos por $T$ el triángulo cerrado con vértices $x_1,x_2,x_3$ . Supongamos que $f : T \to \mathbb{R}$ es una función continua diferenciable en el interior de $T$ y que desaparece en la frontera de $T$ .

Demostrar que existe un punto $x$ en el interior de $T$ tal que el plano tangente a la gráfica de $f$ en el punto $x$ es horizontal.

EDIT: He estado mirando los enlaces de Wikipedia, y entiendo que para cada línea hay un punto donde la derivada debe ser cero, pero no veo cómo demostrar la existencia de un punto donde la derivada a lo largo de cada línea debe ser cero. Así que es posible que tenga que ser caminado a través de este un poco más, si usted tiene tiempo.

Answer 1

Yo no usaría el teorema del valor medio aquí. Aquí hay algunas pistas:

1. El triángulo $T$ es compacto.
2. Si la función es constante, el problema es nulo.
3. Si la función no es constante, la función tendrá un máximo o un mínimo global en el interior de $T$ .
4. El plano tangente a la gráfica de $f$ en un máximo o mínimo local en el interior es horizontal.

Answer 2

Si $f$ es continua en $T$ asume un máximo en $T$ es decir, hay un $\xi\in T$ con $\eta:=f(\xi)\geq f(x)$ para todos $x\in T$ . El plano horizontal $H:\ z=\eta$ es un plano de apoyo para la gráfica de $f$ lo que significa que se encuentra con la gráfica en el punto $(\xi,\eta)$ y ninguna parte del gráfico está por encima de $H$ . Así que puede llamar a $H$ un "plano tangente" a la gráfica de $f$ . Si $f$ es $\equiv 0$ en $\partial T$ y positivo en algunos puntos interiores de $T$ el punto $\xi$ estará en el interior de $T$ y se plantea la cuestión: ¿Cómo podemos encontrar $\xi\ $ ? Aquí el cálculo viene en nuestra ayuda. Hay un lema que dice que en un punto $\xi$ con dicho plano de apoyo $H$ debemos tener $\nabla f(\xi)=0$ Por lo tanto, vamos a tratar de resolver esta ecuación para $\xi$ .

Para demostrar el lema consideremos un punto $a$ en el interior de $T$ donde $\nabla f(a)=:p\ne 0$ . Entonces para la función auxiliar $\phi(t):=f(a + t p)$ uno tiene $\phi'(0)=|p|^2 > 0$ que dice que a lo largo de la línea $t\mapsto a + t p$ la función $f$ no es ni máxima ni mínima en $a$ . Esto demuestra que los puntos $a$ con $\nabla f(a)\ne 0$ no admiten tal hiperplano de apoyo.

Answer 3

El libro "Introduction to Analysis" de William Wade me ayudó a superar mis exámenes de calificación de cálculo multivariable. También es bueno para repasar el análisis unidimensional.

Answer 4

http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem#Mean_value_theorem_in_several_variables