Encuentre el valor mínimo de $|x+1|+2|x-5|+|2x-7|+|\frac{x-11}{2}|$

Question

Encuentre el valor mínimo de $|x+1|+2|x-5|+|2x-7|+|\frac{x-11}{2}|$ .

No tengo ni idea de cómo enfocar esta cuestión. Sin embargo, he conseguido resolverla utilizando un enfoque bastante infantil. Modifico esta ecuación multiplicando $2$ , obteniendo $2|x+1|+4|x-5|+4|x-3.5|+|x-11|$ . Ahora, tengo una línea numérica, y marco $-1$ , $3.5$ , $5$ et $11$ . En este caso, utilizaré esta analogía que puede parecer infantil. Hay $2$ casas en $-1$ , $4$ casas en $3.5$ , $4$ casas en $5$ y $1$ casa en $11$ .

Aquí, introduzco una estación de tren. Tenemos que colocarla en un lugar óptimo para minimizar la distancia de cada casa a ella. Si está entre $3.5$ et $5$ Si se coloca a la izquierda, se observa que tiene que desplazarse a la izquierda para complacer a más personas (más fácil de subir al tren). Si se coloca entre $-1$ et $3.5$ , tiene que moverse a la derecha para complacer a más gente. Por lo tanto, el lugar óptimo para poner la estación de tren sería en $3.5$ Por lo tanto, tengo $x=3.5$ , lo cual es correcto. Podéis dibujar un diagrama para entenderlo mejor. Además, noté que esto parecía bastante similar a algunos problemas de programación.

Volviendo a la pregunta, ¿hay una forma mucho más elegante de resolver este problema?

Answer 1

Una pista:

para obtener el valor mínimo, cada término debe ser cero, es decir $$|x+1|=0$$ o $$|x-5|=0$$ o $$|2x-7|=0$$ o $$|\frac{x-11}{2}|=0$$

encontrar la solución para cada término y ver cuál da el mínimo

Answer 2

Tu método es bastante manoseado, y aunque intuitivamente puede tener sentido, matemáticamente, esa no es forma de resolver un problema.

En cambio, puede observar que en los intervalos $(-\infty, -1]$ , $[-1,3.5]$ , $[3.5,5]$ et $[11,\infty]$ la función es lineal.

Ahora bien, una función lineal en un intervalo cerrado alcanza su mínimo en uno (o en ambos) de los bordes, lo que significa que el mínimo de $f$ en $[-1,3.5]$ sólo puede ser contactado en $-1$ o en $3.5$ . Por lo tanto, el mínimo de la todo (si existe) sólo puede alcanzarse en los puntos $-1,3.5,5$ o $11$ .

Claramente, porque $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\infty$ la función debe tienen un mínimo en algún lugar, por lo que comprobar los valores $f(-1), f(3.5), f(5)$ et $f(11)$ es suficiente para encontrar el mínimo.

Answer 3

$$ f(x)=|x+1|+2|x-5|+|2x-7|+\left|\frac{x-11}2\right| $$ es lineal en cada segmento $$ \overbrace{(-\infty,-1]\vphantom{\frac72}}^{m=-\frac{11}2},\overbrace{\left[-1,\frac72\right]}^{m=-\frac72},\overbrace{\ \left[\frac72,5\right]\ }^{m=\frac12},\overbrace{\ \ [5,11]\ \ \vphantom{\frac72}}^{m=\frac92},\overbrace{\ [11,\infty)\ \vphantom{\frac72}}^{m=\frac{11}2} $$ Así, el mínimo está en $x=\frac72$ donde la pendiente cambia de negativa a positiva. Es decir, el mínimo es $$ f\!\left(\frac72\right)=\frac{45}4 $$

Answer 4

La versión generalizada de este problema es la siguiente: dado $a_i$ , $w_i \ge 0$ encontrar $x$ tal que $f(x) = \sum\limits_{i=1}^n w_i |x - a_i|$ se minimiza. Supongamos que $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ . Entonces $f'(x) = \sum\limits_{a_i < x} w_i - \sum\limits_{a_i > x} w_i = g(x)$ (la derivada existe si $x \not\in \{a_1, \ldots, a_n\}$ ). Por lo tanto, es necesario encontrar $i$ tal que $f'(x) \le 0$ para $x \in (a_i, a_{i+1})$ et $f'(x) \ge 0$ para $x \in (a_{i+1}, a_{i+2})$ . Tenga en cuenta que $g(x)$ se define en todas partes, por lo que es necesario encontrar $i$ tal que $g(a_i) \le 0$ et $g(a_{i+1})\ge 0$ .

Si todos los $w_i = 1$ equivale a encontrar la mediana de $a_1, \ldots, a_n$ .

Answer 5

Caso 1: $x\le -1\\f(x)=-x-1+10-2x+7-2x+5.5-0.5x=21.5-5.5x$

Caso 2: $-1\le x\le 3.5\\f(x)=x+1+10-2x+7-2x+5.5-0.5x=23.5-3.5x$

Caso 3: $3.5\le x\le 5\\f(x)=x+1+10-2x-7+2x+5.5-0.5x=9.5+0.5x$

Caso 4: $5\le x\le 11\\f(x)=x+1-10+2x-7+2x+5.5-0.5x=-10.5+4.5x$

Caso 5: $11\le x\\f(x)=x+1-10+2x-7+2x+0.5x-5.5=-21.5+5.5x$

por lo que tenemos: $$\min_{x\in\Bbb R}f(x)=\min_{x\le-1}f(x)+\min_{-1\le x\le 3.5}f(x)+\min_{3.5\le x\le 5}f(x)+\min_{5\le x\le 11}f(x)+\min_{x\ge 11}f(x)=\min\lbrace{27,11.25,11.25,12,39}\rbrace=11.25$$

aquí hay un boceto: