Invariantes topológicos de orbifolds toroidales

Question

¿Cuáles son los invariantes topológicos más potentes de los orbifolds toroidales?

En particular, estoy buscando invariantes topológicos de orbifolds toroidales bidimensionales como $T^{2}/Z_{k}\times Z_{k}$ y $T^{2}/Z_{k}$ .

Me pregunto si las correspondientes características de Euler del orbifold son cero o no y cómo puedo calcularlas.

Answer 1

Existen 10 orbifolds que pueden ser cubiertos por el toro, es decir, 10 orbifolds euclidianos 2 compactos. Sin embargo, sólo 7 de ellos son cocientes del toro por un grupo cíclico o producto abeliano de grupos cíclicos. La intuición de que las características de Euler son cero es correcta. Las fórmulas para la característica de Euler de los orbifolds aparecen en toda la literatura. Me gusta el capítulo 13 de Notas de Thurston en términos de referencia. En concreto, tiene una tabla de todos los 2-orbifolds con característica de Euler no negativa, que es útil en este contexto. La encuesta de Genevieve Walsh Orbifolds y conmensurabilidad también es bastante relevante.

Los siete orbifolds que son cocientes del toro que te interesa son: $T^2$ la botella de Klein (que se puede realizar como $T^2/\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ), $S^2(2,2,2,2)$ (que también puede realizarse como $T^2/\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ pero el grupo no actúa libremente en este caso), $S^2(2,3,6)$ (que puede realizarse como $T^2/\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ ), $S^2(3,3,3)$ (que puede realizarse como $T^2/\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ), $S^2(2,4,4)$ (que puede realizarse como $T^2/\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ ), y $RP^2(2,2)$ (que puede realizarse como $T^2/(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ ). Los otros 3 orbifolds euclidianos compactos 2 son los cocientes del plano por los grupos triangulares euclidianos. En estos casos, el grupo que actúa sobre el toro es diédrico.