¿La extensión del campo vectorial a lo largo de una curva siempre existe?

Question

Dejemos que $c:I\to M$ ser un $C^{\infty}$ curva en un colector liso $M$ de dimensión $n$ y $X:I\to TM$ sea un campo vectorial a lo largo de $c$ , $$\forall t\in I\qquad X(t)\in T_{c(t)}M.$$ ¿existe un campo vectorial $\bar{X}:M \to TM$ tal que $X=\bar{X}\circ c$ ?

Answer 1

Como demostró @Bebop, globalmente no siempre es posible encontrar la extensión de un campo vectorial a lo largo de $c$ pero (como se puede adivinar) $\textit{locally}$ podemos. Podemos hacerlo con la ayuda de Teorema del rango constante siempre que la curva sea regular ( $c'(t) \neq 0$ para que la curva $c$ es una inmersión). Por este teorema, podemos encontrar unas coordenadas adaptadas para la curva. Y utilizando esta tabla de coordenadas podemos construir la extensión local para $X$ .

Construcción :

Por el teorema del rango constante, $\forall t_o \in I$ siempre podemos encontrar un pequeño intervalo $J$ contienen $t_0$ y un gráfico $(U,\varphi)$ contienen $c(t_0)$ s.t la curva $c : I \rightarrow M$ tiene la siguiente representación

$$ c(t) = (t,0,\dots,0) \qquad \forall t \in J$$

El campo vectorial a lo largo de $c$ , $X : I \rightarrow TM$ tiene representación en $J\subset I$ $$ X(t) = X^j(t) \frac{\partial}{\partial x^j} \Bigg|_{(t,0,\dots,0)}$$ donde $c(J)\subset U$ . Porque $c(J)$ es un subconjunto cerrado contenido en $U$ entonces por Lemma de Extensión para la Función Suave (también en el Manifiesto Suave de Lee) podemos definir las funciones componentes $\tilde{X}^j : U \rightarrow \mathbb{R}$ de un campo vectorial local $\tilde{X} : U \rightarrow TM$ $$ \tilde{X} (x^1,\dots,x^m) = \tilde{X}^j (x^1,\dots,x^m) \frac{\partial}{\partial x^j} \Bigg|_{(x^1,\dots,x^m)} $$ de manera que la restricción a $c(J)$ en el gráfico $(U,\varphi)$ es

$$ \tilde{X}^j |_{c(J)} (x^1,\dots,x^m) = \tilde{X}^j (t,0,\dots,0) := X^j(t)$$

igual a las funciones componentes del campo vectorial a lo largo de la curva $X^j(t)$ . Por lo tanto, por construcción $\tilde{X} \circ c = X$ en $J\subset I$ .

Answer 2

Una curva suave arbitraria $c:I\rightarrow M$ puede tener auto-intersecciones o ser cerrado de manera que no todo campo vectorial a lo largo de $c$ es la restricción de un campo vectorial en $M$ .

A modo de ejemplo, dejemos que $M=\mathbb R^2$ y $$\begin{array}{rccl}c:&[0,2\pi]& \rightarrow & M\\ & t&\mapsto & (\cos(t),\sin(2t))\end{array}$$

Se trata de una curva suave con un punto de autointersección en $t_1=\dfrac{\pi}{2}$ y $t_2=\dfrac{3\pi}{2}$ .

Consideremos el campo vectorial suave a lo largo de $c$ para ser $X(t)=c'(t)$ y observar que $$X(t_1)=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad X(t_2)=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}.$$

Desde $X(t_1)\neq X(t_2)$ no se puede tener un campo vectorial $Y:M\rightarrow TM$ satisfaciendo $$Y(c(t))=X(t)$$ para cualquier $t$ .