Si $S$ no es compacto, existe una función continua no limitada en $S$

Question

Problema

Esto me lo dieron como problema de deberes para probar:

Si $S \subseteq \mathbb{R}$ es no compacto, entonces existe un función continua $f : S \rightarrow \mathbb{R}$ que no tiene límites en $S$ .

mi trabajo

Hasta ahora he conseguido esto:

Si $S \subseteq \mathbb{R}$ no es compacto, entonces debe haber una secuencia en $S$ que tiene una subsecuencia que hace no convergen a un límite también en $S$ .

Si es divergente, es obvio que no tiene límites en $S$ . Si converge a un límite que no está en $S$ entonces $(s_{n_k}) \rightarrow y$ con $y \notin S$ para alguna secuencia $(s_n)$ con una subsecuencia $(s_{n_k})$ .

Así que para esta secuencia, ahora tenemos

$\forall \epsilon >0$ $\exists N \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq N \rightarrow |s_{n_k}-y| < \epsilon$

Ahora tomo una función que es continua en $S$ pero discontinua en el límite que está fuera de $S$ :

$f(x) = \frac{1}{x-y}$

Cuando $n \geq N$ , $|s_{n_k}-y|< \epsilon$ Así que

$\frac{1}{|s_{n_k}-y|}>\frac{1}{\epsilon}$

$|f(s_{n_k})|>\frac{1}{\epsilon}$

Esto debería ser válido para cualquier $\epsilon$ que se puede tomar arbitrariamente pequeño.

Aquí es donde creo que estoy atascado. Quiero concluir algo (ya que todo $s_{n_k}$ están en $S$ , $f(x)$ no tiene límites en $S$ ...), pero siento que falta algo.

¿Es mi razonamiento correcto o se me escapa algo dramáticamente? Todavía tengo que acostumbrarme a escribir pruebas. ¡Cualquier sugerencia/comentario es bienvenido!

Answer 1

Ha concluido correctamente que (si $S$ no contiene uno de sus puntos límite) $f$ no tiene límites. En particular, se puede decir algo como

Para cualquier $\epsilon > 0$ existe un elemento de nuestra subsecuencia $s_{n_k} \in S$ para lo cual $$ f(s_{n_k}) > 1/\epsilon $$ Desde $\epsilon$ era arbitraria, podemos concluir que $f$ no tiene límites.

O, si quieres ser muy claro (excesivamente tal vez) sobre cómo la definición de las características de la falta de límites, se puede escribir:

Para cualquier $M > 0$ observamos que hay un elemento $s \in S$ de nuestra subsecuencia para la cual $|s - y| < 1/M$ Así, podemos afirmar que existe un $s \in S$ para lo cual $$ f(s) > M $$ Desde $M$ era arbitraria, podemos concluir que $f$ no tiene límites.

Tenga en cuenta que debe por separado considere el caso en el que $S$ es a su vez un conjunto no limitado (pero cerrado), quizás con $f(x) = x$ .

Answer 2

Si $S$ es ilimitado, entonces se puede tomar $f(x) =x $ Si $S$ está acotado entonces existe un punto $q\in \overline{S}\setminus S $ y luego puedes tomar $f(x) =(q-x)^{-1} $