Por qué $\rho=\cos \phi$ en $x^2+y^2+(z-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ y $0 \le \phi \le \pi/4$ ?

Question

Necesito calcular el volumen del cono $z=\sqrt{x^2+y^2}$ dentro de la esfera $x^2+y^2+(z-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ utilizando coordenadas esféricas, integral triple y $f(\rho, \phi, \theta)$ notación.

Intuitivamente, me gustaría decir que el radio de la esfera es $0.5$ y este debería ser el límite superior de $\rho$ . Sin embargo, tenemos que utilizar $\rho \le \cos\phi$ . La explicación algebraica de esto es: $$ x^2+y^2+z^2-z+\frac{1}{4}=\frac{1}{4} \Rightarrow x^2+y^2+z^2=z\\ z=\rho\cos\phi \Rightarrow \rho=z=\rho\cos\phi $$

Sin embargo, no entiendo el razonamiento que hay detrás de esto.

¿Es porque $\rho$ no empieza en el origen por lo que hay que hacer el ajuste?

Y en segundo lugar, ¿no nos interesa el ángulo $\pi/4 \le \phi \le \pi/2$ porque en realidad es donde se encuentra el cono?

Esta es la ilustración:

Answer 1

Tendrías que dejar que $\rho$ correr a $\tfrac{1}{2}$ el radio de la esfera, si la esfera estuviera centrada en el origen. Pero no es el caso, el centro de la esfera está en $(0,0,\tfrac{1}{2})$ . Un boceto decente ayuda mucho, creo.

Porque el radio es $\tfrac{1}{2}$ la esfera lo hace toque el origen así que $\rho$ de hecho comienza en $\rho = 0$ y hay que dejarlo correr hasta que llegue a la parte superior de la esfera (pero dentro del cono). Debido al desplazamiento de la esfera, ésta no se encuentra a una distancia constante del origen, sino que depende del ángulo $\phi$ . Para saber cómo depende de ella, se utiliza la ecuación de la esfera y se resuelve para $\rho$ llegando a $\rho = \cos\phi$ .

Y en segundo lugar, ¿no nos interesa el ángulo $\pi/4 \le \phi \le \pi/2$ porque en realidad es donde se encuentra el cono?

No entiendo cómo has llegado a estos ángulos; $\phi$ es el ángulo con el positivo $z$ -¿eje? Entonces debería empezar en $\phi=0$ y que $\phi$ corre hasta llegar al límite del cono.