Me dieron en clase las siguientes definiciones:
Definición 1 El álgebra de Lie $\mathfrak{so}(n)$ se define como el subespacio de las matrices $ A \in \mathfrak{gl}(n)$ tal que $AJ + JA^{t} = 0$ con $J \in \mathfrak{gl}(n)$ y
$J= \begin{pmatrix} 0 & 0 & ....& 0 & 1 \\ 0 & 0 & .... & 1 & 0\\ .. & .. & .. & ..& .. \\ 0 & 1 & ....& 0 & 0 \\ 1 & 0 & ....& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
En otras palabras, $J$ tiene la diagonal secundaria con todas las entradas iguales a 1 y todas las demás entradas son cero.
Definición 2 El álgebra de Lie $\mathfrak{sp}(2n)$ se define como el subespacio de las matrices $A \in \mathfrak{gl}(2n)$ tal que $AJ + JA^{t} = 0$ con $J \in \mathfrak{gl}(2n)$ y
$J= \begin{pmatrix} 0 &...& 0 & 0 &...& 1 \\ & & . &. & &. \\ . & & . &. & &. \\ 0 &...& 0 & 1 &...& 0 \\ 0 &...& -1 & 0 &...& 0 \\ . & & . &. & &. \\ . & & . &. & &. \\ -1 &...& 0 & 0 &...& 0 \\ \end{pmatrix}$
En otras palabras $J$ tiene la diagonal secundaria con una secuencia de n entradas igual a 1 y una secuencia de n entradas igual a -1. Todas las demás entradas son cero.
Ahora bien, ¿existe una forma estándar de presentar dichas matrices? Por ejemplo, sé que una matriz $A \in \mathfrak{sp}(4)$ puede tener la siguiente forma:
$A = \begin{pmatrix} t_1 & a & z & x \\ b & t_2 & y & z \\ u & s & -t_2 & -a \\ t & u & -b & -t_1 \\ \end{pmatrix}$
¿Cuál es la forma análoga de las matrices $A \in \mathfrak{so}(4)$ (o para $\mathfrak{so}(n)$ )? ¿Es correcto lo siguiente, para $\mathfrak{so}(4)$ ?
$A = \begin{pmatrix} t_1 & a & z & x \\ b & t_2 & y & z \\ u & s & t_2 & a \\ t & u & b & t_1 \\ \end{pmatrix}$
¿Significa esto que en el caso general para $n$ la matriz $A$ sería como el caso $n=4$ ¿pero con filas aleatorias que separan los dos bloques superiores de los dos inferiores?
