Relación entre las espirales logarítmicas y la proporción áurea

Question

La ecuación polar de una curva espiral logarítmica viene dada por $$ r= ae^{b\theta} $$ donde cada punto de la curva se describe en coordenadas polares: $r$ es la distancia al origen y $\theta$ es el ángulo formado con el eje x. Los parámetros $a$ y $b$ son arbitrarios.

Aquí hay una descripción* para un esquema de construcción de la curva con precisión variable (dependiente del número de rayos):

La espiral logarítmica puede construirse a partir de rayos igualmente espaciados mediante comenzando en un punto a lo largo de un rayo, y dibujando la perpendicular a un rayo vecino. A medida que el número de rayos se aproxima al infinito, la secuencia de segmentos se aproxima a la espiral logarítmica suave (Hilton et al. 1997, pp. 2-3).

A continuación se muestran algunos ejemplos* utilizando diferentes números de rayos:

Preguntas:

1. ¿Por qué se llama logarítmico ¿espiral? ¿Se debe a que la distancia entre los puntos vecinos en el eje x crece logarítmicamente?

2. Al parecer, existe una conexión entre la espiral logarítmica y la proporción áurea. Pero, ¿dónde se encuentra esta proporción? Creo que es una longitud límite para infinitos rayos, pero no veo la conexión tanto gráfica como algebraica (es decir, ¿podemos predecir la aparición de una proporción áurea utilizando únicamente la ecuación?)

---

Referencias:

*: https://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiral.html

Answer 1

Todas las espirales de la forma $r=e^{b\theta}$ son espirales logarítmicas. En forma compleja esto se expresaría como $z=e^{(b+i)\theta}$ . El parámetro $b$ se denomina coeficiente de flair, definido como $b=\ln g/\Delta\theta$ , donde $g$ es la tasa de crecimiento del radio por $\Delta\theta$ . El espiral dorada se define específicamente por $b=\ln \varphi/(\pi/2)=2\ln \varphi/\pi$ , donde $\varphi$ es la proporción áurea. Esto significa que el radio crece por un factor $\varphi$ por cada cuarto de vuelta ( $90^{\circ}$ ).