$\xi_A(\lambda)=det ( \lambda * I_n -A)$
Cayley-Hamilton declaró que $\xi_A(A)=0_n$ Prueba : $det (A-A)= det ( 0_n) =0$ ¿Por qué esta prueba es errónea?
Primero porque esperamos $\xi_A(A)$ ser una matriz y no un escalar pero supongo que hay algo más
Esta pregunta ya tiene respuestas:
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La matriz $X\cdot I-A$ es una matriz cuyas entradas son polinomios. Si se sustituye $X$ por la matriz $A$ , entonces se termina con una matriz cuyas entradas son matrices, no con la matriz $0$ .
Si $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$, then $$X\cdot I-A=\begin{pmatrix}X-a_{11}&-a_{12}\\-a_{21}&X-a_{22}\end{pmatrix}$$ y el resultado de sustituir $X$ por $A$ es la matriz en $M_2(M_2(k))$ $$\begin{pmatrix}A-a_{11}I&-a_{12}I\\-a_{21}I&A-a_{22}I\end{pmatrix},$$ que es una matriz de matrices y claramente no es en general la matriz cero. El teorema C-H puede verse como una afirmación de que el determinante de esta matriz es cero (esto tiene sentido: es una matriz con entradas en el conmutativo anillo generado por $A$ y los escalares, por lo que los determinantes tienen sentido) es cero.
