Cómo definir en ZFC jerarquías transfinitas de clases propias (con un ejemplo útil para la teoría de la prueba)

Question

Estuve estudiando un poco de Teoría de las Pruebas en la obra de Pohlers Teoría de la prueba: primer paso hacia la impredicatividad y me encontré con un problema de teoría de conjuntos.

Necesitamos definir esta jerarquía transfinita de clases adecuadas :

$$\mathcal{C} (0) = H $$

$$\mathcal{C} ( \alpha + 1) = \mathcal{C} (\alpha) ' $$

$$ \mathcal{C} (\lambda) = \bigcap \{ \mathcal{C} (\delta) | \delta < \lambda \} ,\ if\ \lambda\ is\ a\ limit $$

Aquí, H es la clase (propia) de ordinales principales (o indecomponibles aditivamente) y, si M es una clase, M' es su clase derivada (la definición precisa de estos conceptos no es importante para nuestros fines). Los que estén familiarizados con la teoría de la prueba verán que esto es sólo un paso hacia la definición de la jerarquía de las funciones de Veblen, que, a su vez, se utiliza para construir un sistema de notación para los ordinales a continuación $ \Gamma_0 $ .

Bien, el problema es el siguiente: ¿es posible giustificar en ZFC una definición como esa? Si lo es, ¿cómo puedo hacerlo? La forma habitual del teorema general de recursión transfinita (que todavía es un esquema teórico) puede giustificar la definición de jerarquías como la jerarquía de Números Aleph, o la jerarquía de Conjuntos Constructibles, etc, donde en cada paso de la recursión lo que se produce es un set , no una clase propia. Sólo para que quede claro, la "forma habitual del teorema general de recursión transfinita" de la que hablo es ésta (véase, por ejemplo, Teoría de conjuntos: introducción a las pruebas de indipendencia Kunen, 1980, pág. 25):

Dejemos que $\psi$ (x,y) sea una fórmula tal que ZFC demuestre $\forall x \exists! y\ \psi(x,y)$ Llamemos G(x) al único y tal que $\psi(x,y)$ (es decir, G es una función de clase). Entonces, podemos escribir otra fórmula $\phi(u,w)$ tal que:

1- ZFC demuestra $\forall \alpha \exists!w \phi(\alpha,w)$ Llamemos a F( $\alpha$ ) el único w tal que $\phi(\alpha,w)$ . Aquí, obviamente, $\alpha$ se extiende sobre la clase de los ordinales.

2- ZFC demuestra $\forall \alpha\ [ F(\alpha)=G(F\lceil \alpha)]$

Ahora bien, el problema es que la "condición de existencia" no se satisface si quiero tener, como salidas de la función, clases propias; por lo tanto, el patrón de esta definición no está disponible para la definición de la jerarquía antes mencionada. ¿Alguna sugerencia sobre cómo manejar este tipo de situación en ZFC?

Gracias.

Answer 1

Podemos definir el tipo de recursión que ha especificado directamente para los segmentos iniciales del conjunto de $H$ es decir, a partir de $H\cap\alpha$ para cualquier $\alpha$ en lugar de todo el $H$ . Esto procede con la recursión transfinita habitual que menciona. Usamos esto para definir la recursión en su lugar, y mostrar que funciona.

Para cualquier ordinal $\alpha$ y $C_\alpha=H\cap\alpha$ definir los conjuntos $C_\alpha(\beta)$ como sigue:

• $C_\alpha(0)=C_\alpha$ ,

• $C_\alpha(\beta+1)=C_\alpha(\beta)'$ ,

• $C_\alpha(\beta)=\bigcap_{\gamma<\beta}C_\alpha(\gamma)$ para los límites $\beta$ .

Observe que $C_{\alpha}(\beta)\subseteq\alpha$ para todos $\beta$ , y si $\alpha_0<\alpha_1$ entonces $C_{\alpha_0}(\beta)=C_{\alpha_1}(\beta)\cap\alpha_0$ para todos $\beta$ .

Para todos los ordinales $\beta$ , defina $C(\beta)=\{\xi\bigm|\exists\alpha\ [\xi\in C_\alpha(\beta)]\}$ .

Así que $\xi\in C(\beta)$ si $\xi\in C_\alpha(\beta)$ para algunos $\alpha>\xi$ si $\xi\in C_\alpha(\beta)$ para todos $\alpha>\xi$ .

Esto da una definición uniforme de las clases $C(\beta)$ , hecho en ZF. Ahora observa que satisfacen la recursión que has especificado, es decir $C(0)=H$ , $C(\beta+1)=C(\beta)'$ y las intersecciones en los límites.