unión del número ordinal

Question

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es válida? $\bigcup x \in x ,\quad \bigcup x = x ,\quad x\in \bigcup x$ cuando:

(a) $x$ es un conjunto, (b) $x$ es un ordinal.

¿Puede alguien ayudarme?

Gracias de antemano.

Answer 1

CONSEJO para $\bigcup x\in x$ y $x\in\bigcup x$ : Es $\bigcup\varnothing\in\varnothing$ ? Es $\varnothing\in\bigcup\varnothing$ ?

$x\in\bigcup\varnothing$ si existe un $y\in\varnothing$ tal que $x\in y$ , así que ... ?

Recuerda, $\varnothing$ es también el ordinal $0$ Por lo tanto, la respuesta a esta pregunta se aplica a ambas partes de su problema.

Añadido: No tiene mucho sentido una pista ahora, así que sólo señalaré que si $\alpha$ es un ordinal, $$\bigcup\alpha=\sup\alpha=\sup\{\beta:\beta<\alpha\}=\begin{cases}\alpha,&\text{if }\alpha\text{ is a limit ordinal or }0\\ \beta,&\text{if }\alpha=\beta+1\;. \end{cases}$$

Answer 2

Recuerda que $$\bigcup x = \{z\mid \exists y(z\in y\land y\in x)\}.$$

Asumiendo el Axioma de Fundación (Regularidad), nunca se puede tener $x\in\bigcup x$ : esto requeriría la existencia de un $y$ tal que $x\in y$ y $y\in x$ que a su vez daría una cadena descendente infinita de conjuntos ordenados por $\in$ La regularidad lo prohíbe. Pero en ausencia de Fundación, eso podría ocurrir; asumiendo el Axioma de Anti-Fundación de Aczel, hay un conjunto $A$ tal que $A=\{A\}$ y es fácil comprobar que $A\in A=\bigcup A$ .

Para los conjuntos arbitrarios, puede o no tener $\bigcup x = x$ En concreto, para que $\bigcup x\subset x$ para sostener, $x$ debe ser transitivo y a la inversa; un conjunto $A$ es transitiva si y sólo si $y\in A$ implica $y\subseteq A$ .

En efecto, supongamos que $x$ es transitivo: si $z\in \bigcup x$ entonces existe $y\in x$ tal que $z\in y$ Por lo tanto, $z\in y\subseteq x$ Así que $\bigcup x\subseteq x$ . A la inversa, supongamos que $\bigcup x \subseteq x$ y que $y\in x$ . Si $z\in y$ entonces $z\in \bigcup x\subseteq x$ Por lo tanto $z\in x$ . Así, $y\subseteq x$ . Por lo tanto, $\bigcup x\subseteq x$ si y sólo si $x$ es transitivo.

La igualdad es más difícil, pero debes comprobar que efectivamente se cumple para los ordinales. Como se ha señalado, no es necesario que la igualdad se mantenga para ordinales arbitrarios; de hecho, la igualdad se mantiene para un ordinal $\alpha$ si y sólo si $\alpha$ es un límite ordinal: es decir, si para cada ordinal $\beta$ , $\beta\in\alpha$ implica $\beta\cup\{\beta\}\in\alpha$ .

$\bigcup x\in x$ puede o no ser válida para conjuntos arbitrarios; y nunca es válida para ordinales: suponiendo que se haya demostrado que si $x$ es un ordinal, entonces $\bigcup x = x$ no se puede tener también $x=\bigcup x\in x$ ya que los ordinales están, por definición, bien ordenados con respecto a $\epsilon$ . Para un ejemplo en el que $\bigcup x \in x$ , toma $x = \{\{\varnothing\}, \varnothing\}$ . Entonces $\bigcup x = \varnothing\cup\{\varnothing\} = \{\varnothing\}\in x$ .

Answer 3

En general $\bigcup x\notin x$ Por ejemplo $\bigcup\varnothing=\varnothing\notin\varnothing$ . Este ejemplo también muestra que a menudo $x\notin\bigcup x$ .

Considere también $\bigcup 1=\bigcup\{\varnothing\}=\varnothing$ por lo que tampoco es necesaria la desigualdad (dado que los ordinales son, por supuesto, conjuntos, entonces este es un ejemplo para ambos casos).

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La unión de un ordinal es un ordinal, por lo tanto $\bigcup x$ es comparable con $x$ por lo que uno de los tres casos debe cumplirse siempre.