Descomposiciones de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^n$

Question

Esta puede ser una pregunta básica. Es bien sabido que los conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$ son la unión de intervalos abiertos disjuntos. ¿Se mantiene de forma similar que los conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^n$ son la unión de conjuntos abiertos disjuntos? Además, ¿es un conjunto abierto conexo la unión de conjuntos convexos conexos disjuntos? Gracias.

Answer 1

La primera propiedad que pides es bastante trivial de demostrar; en particular, para cualquier conjunto abierto $O$ definen una relación de equivalencia $$a\sim b$$ definido por la propiedad de que, si $S$ es un conjunto de conjuntos abiertos disjuntos que cubren $O$ entonces $a\in s\in S$ implica $b\in s$ - es decir, $a$ y $b$ están en la misma componente conectada. Se puede demostrar fácilmente que las clases de equivalencia de esto son conjuntos abiertos disjuntos, cuya unión es $O$ .

La segunda propiedad es algo más difícil, pero aún así es factible. Un enfoque consiste esencialmente en construir un octree como una partición. En particular, dejemos que $S$ sea el conjunto de intervalos de la forma $$\left[\frac{x_1}{2^n},\frac{x_1+1}{2^n}\right)\times \left[\frac{x_2}{2^n},\frac{x_2+1}{2^n}\right)\times \left[\frac{x_3}{2^n},\frac{x_3+1}{2^n}\right)$$ junto con el conjunto $\mathbb R^2$ mismo. Es decir, tenemos cubos alineados con el eje cuyas esquinas están en racionales diádicos "adyacentes" - si ponemos $8$ de estos cubos juntos, obtenemos un cubo más grande que también está en el conjunto. Entonces, podemos obtener rápidamente una partición $P\subseteq S$ de $O$ - en particular, que $P$ sea el conjunto de $s\in S$ tal que $s\subseteq O$ pero para el que no existe ningún $s'\in S$ que contiene (estrictamente) $s$ pero está contenida en $O$ - es decir, $P$ es el conjunto de cubos de tamaño máximo que encajan en $O$ .

Se trata de una partición ya que, para cualquier $p\in O$ Hay un poco de bola por ahí. $p$ contenida en $O$ - y por lo tanto, como todo punto está contenido en un cubo de radio arbitrariamente pequeño, hay algún $s\in S$ tal que $p\in s\subseteq O$ . Podemos entonces argumentar que si dos cubos $s_1,s_2\in S$ contienen $p$ Entonces, o bien $s_1\subseteq s_2$ o $s_2\subseteq s_1$ (debido a la forma en que se anidan los cubos) - y por lo tanto, el conjunto de cubos que contienen $p$ forma una cadena cuando se ordena por inclusión - y nuestra partición tiene la propiedad de que la unión sobre dicha cadena sigue estando en $S$ - por lo tanto, concluimos que hay un elemento máximo en $S$ que contiene $p$ y que esto es en $P$ Por lo tanto $P$ es una partición.

Podemos generalizar este argumento para decir que, si $S$ es un conjunto que satisface:

• Si $s_1,s_2\in S$ entonces $s_1\cap s_2$ es $s_1$ , $s_2$ o el conjunto vacío.
• Cada subconjunto $S'\subseteq S$ que está totalmente ordenado por inclusión (es decir, una cadena) tiene que la unión de todos los $s\in S'$ es miembro de $S$ . (Equivalentemente, todo subconjunto de $S'$ tiene un límite superior mínimo cuando se ordena por inclusión)
• Para cualquier conjunto abierto $O$ y $p\in O$ existe un $s\in S$ que contiene $p$ y que está contenida en su totalidad en $O$ .

entonces hay una partición $P$ de cualquier conjunto abierto que satisfaga $P\subseteq S$ . En nuestro ejemplo particular, elegimos un $S$ compuesto por conjuntos convexos con interior no vacío.

Answer 2

Los conjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ en la topología euclidiana estándar están generadas por las bolas abiertas $B(x,\epsilon) = \{ y \in \mathbb{R}^n | ||x-y||<\epsilon \}$ donde $\epsilon >0$ y $x \in \mathbb{R}^n$ . En particular, para $n=1$ el $||x-y||$ (norma euclidiana) es simplemente $|x-y|$ el valor absoluto.

Es cierto que en $\mathbb{R}$ los conjuntos abiertos son uniones disjuntas de intervalos. Por ejemplo, el conjunto $(-\infty,6) \cup (14,\infty)$ es una unión disjunta de intervalos, pero si escribo algo como $(-\infty,6) \cup (4,\infty) = (-\infty, \infty)$ que sigue siendo un conjunto abierto, aunque lo haya escrito como la unión de intervalos abiertos no disjuntos.

Tras la simplificación de la unión de conjuntos allí donde se produzca, todo conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ será la unión disjunta de bolas abiertas, pero no necesariamente debe escribirse así. Una vez que hagamos toda la simplificación, deberíamos terminar con una colección de conjuntos abiertos disjuntos.