La función desde el límite del disco unitario al plano complejo es holomorfa

Question

Consideremos el disco unitario $\mathcal{D}=\{z: |z|\leq 1\}$ y una función continua arbitraria $f:\partial \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{C}$ .

Quiero encontrar una extensión de $f$ que es continua en $\mathcal{D}$ y holomorfo en $int(\mathcal{D})$ aplicando la fórmula integral de Cauchy-Riemann: $f(z_0)=\int_{\partial \mathcal{D}}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$ .

Además, por el teorema de Morera, una función continua de valor complejo ƒ definida sobre un conjunto abierto D en el plano complejo que satisface $\int_{\gamma}f(z)dz=0$ para toda pieza cerrada $\mathcal{C^1}$ curva $\gamma$ en $\mathcal{D}$ debe ser holomorfo en $\mathcal{D}$ .

¿Cómo puedo aplicar el teorema de Morera para averiguar si existe una extensión de $f$ que es holomorfo en $int(\mathcal{D})$ ?

Answer 1

No existe la "ecuación integral de Cauchy-Riemann"; lo que tienes en mente es la fórmula integral de Cauchy.

Vea lo que sucede si $f(z)=\frac1z$ cuando $|z|=1$ . Entonces, si $0<|z_0|<1$ , $$\begin{align}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz&=\int_{\partial D}\frac1{z_0}\left(\frac1{z-z_0}-\frac1z\right)\,\mathrm dz\\&=\frac{2\pi i}{z_0}\bigl(\operatorname{Ind}_{\partial D}(z_0)-\operatorname{Ind}_{\partial D}(0)\bigr)\\&=0,\end{align}$$ y es fácil ver que $\int_{\partial D}\frac{f(z)}z\mathrm dz=0$ también. Por lo tanto, se obtiene la función nula en $\operatorname{Int}D$ .