Ilustrar en el plano $\mathbb{R}^2$ cuáles son las bolas abiertas de este espacio métrico

Question

Demuestra que $(\mathbb{R} \times \mathbb{R}, d)$ es un espacio métrico, donde $d( (x,y),(x',y') ) = |y| + |y'| + |x-x'|$ si $x \neq x'$ y $|y-y'|$ si $x = x'$

Ilustrar mediante diagramas en el plano $\mathbb{R}^2$ cómo son las bolas abiertas de este espacio métrico.

Puedo demostrar que se trata de un espacio métrico, y puedo dibujar la parte de una bola para x=x' (sólo una línea vertical de radio r), pero me cuesta entender cómo dibujar el resto de la bola para puntos de diferentes valores de x.

Answer 1

El $r$ -bola alrededor $(x,y)$ puede tener diferentes formas, dependiendo de si a) $y=0$ o b) $r\le |y|>0$ o c) $r>|y|>0$ .

Answer 2

Toma un poco de $(x,y)\in\Bbb R^2$ . Entonces, para cualquier positivo $r\leq |y|$ la bola abierta centrada en $(x,y)$ con radio $r$ es un segmento vertical de longitud $2r$ .

Para $r>|y|$ seguimos obteniendo el mismo segmento, pero además obtenemos un diamante centrado en $(x,0)$ con esquinas en $(x\pm(r-|y|),0)$ y $(x,\pm(r-|y|))$ .