Esta pregunta pide, en efecto, que se demuestre que $\eta^n$ es un $\pm p^{n/2}$ función propia del operador de Hecke $T_p$ . La afirmación es válida porque cada uno de estos $\eta^n$ resulta ser una forma de peso CM $n/2$ , y $p$ es inerte en el campo CM ${\bf Q}(i)$ o ${\bf Q}(\sqrt{-3})$ . En un lenguaje más sencillo, la suma sobre $k$ toma el $q$ -expansión $$ \eta(\tau)^n = \sum_{m \equiv n/24 \phantom.\bmod 1} a_m q^m $$ y escoge los términos con $p|m$ multiplicando cada uno de ellos por $p$ ; y el resultado es predecible porque el único $m$ que se producen son de la forma $(a^2+b^2)/d$ o $(a^2+ab+b^2)/d$ donde $d = 24 / \gcd(n,24)$ , y la congruencia en $p$ implica que $p|m$ si y sólo si $p|a$ y $p|b$ .
Para $n=2$ esto es inmediato desde el pentagonal identidad numérica , que establece, en efecto, que $\eta(\tau)$ es la suma de $\pm q^{c^2/24}$ sobre números enteros $c \equiv 1 \bmod 6$ con el signo que depende de $c \bmod 12$ (y $q = e^{2\pi i \tau}$ como siempre). Así, $$ \eta^2 = \sum_{c_1^{\phantom0},c_2^{\phantom0}} \pm q^{(c_1^2+c_2^2)/24} = \sum_{a,b} \pm q^{(a^2+b^2)/12} $$ donde $c,c' = a \pm b$ .
Una vez $n>2$ hay una nueva arruga: el coeficiente de cada término $q^{(a^2+b^2)/d}$ o $q^{(a^2+ab+b^2)/d}$ no es sólo $\pm 1$ sino un cierto polinomio homogéneo de grado $(n-2)/2$ en $a$ y $b$ (un polinomio armónico con respecto a la forma cuadrática $a^2+b^2$ o $a^2+ab+b^2$ ). Explícitamente, podemos obtener las formas CM $\eta^n$ de la siguiente manera:
@ Para $n=4$ , suma $\frac12 (a+2b) q^{(a^2+ab+b^2)/6}$ sobre todo $a,b$ tal que $a$ es impar y $a-b \equiv1 \bmod 3$ . [Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que $\eta(6\tau)^4$ es la forma modular del nivel $36$ asociado a la curva elíptica CM $Y^2 = X^3 + 1$ que resulta ser isomorfo con la curva modular $X_0(36)$ .]
@ Para $n=6$ , suma $(a^2-b^2) q^{(a^2+b^2)/4}$ sobre todo $a \equiv 1 \bmod 4$ y $b \equiv 0 \bmod 2$ .
@ Para $n=8$ , suma $\frac12 (a-b)(2a+b)(a+2b) q^{(a^2+ab+b^2)/3}$ sobre todo $(a,b)$ congruente con $(1,0) \bmod 3$ .
@ Para $n=10$ , suma $ab(a^2-b^2) q^{(a^2+b^2)/12}$ sobre todo $(a,b)$ congruente con $(2,1) \bmod 6$ .
Por último, para $n=14$ , suma $\frac1{120} ab(a+b)(a-b)(a+2b)(2a+b)q^{(a^2+ab+b^2)/12}$ sobre todo $a,b$ tal que $a \equiv 1 \bmod 4$ y $a-b \equiv 4 \bmod 12$ .
No puedo dar una referencia para estas identidades, pero una vez que tal fórmula se puede verificar mostrando que la suma sobre $a,b$ da una forma modular de peso $n/2$ y comprobar que coincide con $\eta^n$ a suficientes términos que debe ser el mismo.
