Por favor, dígame esta proposición.
$X$ un espacio topológico compacto de Hausdorff $Y$ un espacio de Hausdorff $f:X \rightarrow Y$ :continua $S \subset X $ : denso $f(S) \subset f(X)$ : denso $\forall y' \in f(S) , f^{-1}(y')$ está conectado. $\Rightarrow \forall y \in f(X), f^{-1}(y)$ está conectado.
Ya he considerado este problema casi 40 horas pero no puedo resolverlo. Esta es mi pobre prueba.
prueba) $\forall y \in f(X\smallsetminus S)=f(X)\smallsetminus f(S)$ $\exists \{y_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ s.t. $y_{n} \rightarrow y(n \rightarrow \infty) (\because \overline{f(S)}=f(X))$ es decir $ \forall V$ abrir nbd de $ y$ $\exists$ $n_0 \in \mathbb{N}$ s.t. $n \geq n_0 \Rightarrow y_{n} \in V$
Supongamos que $f^{-1}(y)$ no está conectado.
$\exists U, U'$ : abrir s.t. $f^{-1}(V)=U\cap U' , U\cap U' \cap f^{-1}(y)=\emptyset$ $\therefore \exists x \in U, \exists x' \in U'$ s.t. $\exists \{x_n\}_{n \in \mathbb N} , \exists \{x'_n\}_{n \in \mathbb N}$ s.t. $f(x_n) = f(x'_n) = y_n , x_{n} \rightarrow x, x'_{n} \rightarrow x'(n \rightarrow \infty)$ es decir $n \geq n_0 \Rightarrow x_{n} \in U \cap f^{-1}(y_n), x'_{n} \in U' \cap f^{-1}(y_n)$
En esta prueba imperfecta, no puedo demostrar la desconexión de $f^{-1}(y_{n})$ ni conseguir ninguna contradicción, incluso si asumo $\emptyset \neq U\cap U'\cap f^{-1}(y_n)$ .
