La esfera de radio más pequeño se cruza con la superficie cuádrica

Question

Hay una ecuación de la esfera:

$${x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 = R^2.$$

Una superficie cuadrática, dada por el nivel $C$ y un conjunto de parámetros $a, e, i$ tiene la fórmula:

$$a {x_1}^2 + e {x_2}^2 + i {x_3}^2 + C = 0.$$

Esta ecuación se puede reescribir con la ayuda de la matriz diagonal $M$ , en cuya diagonal hay números arbitrarios, como sigue:

Elementos $\ b,c,d,f,g,h$ son iguales a cero.

En 3D (en realidad, en general) lo que buscamos es la esfera de menor radio centrada en el origen que se cruza con la superficie cuádrica definida por un determinado conjunto de niveles de la forma cuadrática definida por la matriz simétrica $M$ .

¿Es posible resolver este problema analíticamente para las componentes del vector $x$ utilizando métodos de la geometría diferencial?

https://mathematica.stackexchange.com/questions/207732/solve-the-vector-matrix-equation-minimize-the-length-of-the-desired-n-dimension

Answer 1

El radio de la esfera de intersección más pequeña es simplemente la distancia de la cuádrica al origen:

$$R^2 = \min_{x}\ \|x\|^2 \quad \mathrm{s.t.}\quad x^TMx = -C.$$

Suponiendo que $C>0$ Obsérvese que su programa cuadrático con restricciones cuadráticas es de tipo cuociente de Rayleigh, y puede reescribirse como $$R^2 = \min_x\ \frac{\|x\|^2}{x^T (-M/C) x}\quad \mathrm{s.t.}\quad x^TMx < 0$$ o $$R^{-2} = \max_x\ \frac{x^T (-M/C) x}{\|x\|^2}\quad \mathrm{s.t.}\quad x^TMx < 0.$$ El radio de la solución será $R^2 = -C/\lambda$ , donde $\lambda$ es el valor propio más negativo de $M$ (o ninguna solución, si $M$ es positivo-definido) y la dirección $x$ del punto de intersección viene dado por el correspondiente vector propio. Cuando $M$ es diagonal, $\lambda$ es simplemente la entrada diagonal más negativa.