Encontrando $f$ s.t. la secuencia de funciones $f_n(x)=f (x − a_n )$ no es a.e. convergente a $f$

Question

El siguiente es un ejercicio de El análisis real de Bruckner :

Dejemos que $a_n$ sea cualquier secuencia de números positivos que convergen a cero. Si $f$ es continua, entonces ciertamente $f (x a_n)$ converge a $f (x)$ . Encontrar una función acotada medible en $[0, 1]$ tal que la secuencia de funciones $f_n(x)=f (x a_n )$ no es a.e. convergente a f [Sugerencia: tome la función característica de un conjunto de Cantor de medida positiva].

No entiendo cómo " $f_n(x)=f (x a_n )$ no es a.e. convergente a f" puede ocurrir en absoluto : $f (x a_n )$ se están "moviendo" para convertirse en $f(x)$ como $n \to \infty$ y sólo tenemos una solución para no a.e. convergente a f cuando consideramos cualquier diferentes $f$ que no es a.e. límite de $f_n$ ? Entonces, ¿para qué sirven aquí los conjuntos de Cantor gordos?

Añadido - Debería haber una solución fácil dentro del ámbito del libro de Bruckner, porque cuando un ejercicio es difícil y aún así está al nivel del libro, siempre se menciona en un paréntesis "Esto es difícil", pero ningún aviso para este ejercicio lo es.

Answer 1

Ignoro si existe una respuesta sencilla (como podría sugerir la pista) a este PO (yo mismo he probado la sugerencia sin éxito). Espero que haya una solución tan simple, y que alguien se le ocurra una en la línea de la sugerencia. Sin embargo, para que la maquinaria sea más pesada, presento una solución al problema.

1. En primer lugar, demuestro que para cualquier secuencia dada $a_n\searrow0$ , hay $f\in L_1([0,1],m)$ tal que $$\begin{align} m(\{x:f_n(x-a_n)\stackrel{n}{\nrightarrow}f(x)\})>0\tag{0}\label{zero} \end{align} $$
2. A partir de dicha función $f$ se puede entonces construir una función acotada medible $\phi$ en $[0,1]$ satisfaciendo \eqref {cero}. En efecto, dejemos que $B=\{x:f_n\stackrel{n}{\nrightarrow}f\}$ . Como $f\in L_1$ , hay $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $m(|f|>n_0)<\frac12 m(B)$ . Entonces $m(B\cap\{|f|\leq n_0\})>0$ y la función $\phi:=|f|\mathbb{1}_{B\cap\{|f|\leq n_0\}}$ haría el trabajo.

Vale la pena mencionar que existe una versión más débil (simple) del problema (véase más adelante) y que un problema ya se ha discutido en MSE. De hecho, la solución inicial de @Ramiro a este OP (aún visible para algunos) resuelve ese problema relacionado.

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Versión más débil del problema: existe una función acotada y medible $f$ de manera que el $\tau_hf(x)=f(x-h)$ no converge a $f(x)$ como $h\rightarrow0$ para cualquier punto $x$ en un conjunto de medida de Lebesgue positiva.

Para demostrar esto, seguimos la pista del OP, y consideramos cualquier conjunto gordo de Cantor $F$ en $[0,1]$ . Desde $F$ es perfecto y no es denso en ninguna parte, para cualquier $x\in F$ hay secuencias $\{p_n:n\in\mathbb{N}\}\subset F$ y $\{q_n:n\in\mathbb{N}\}\subset [0,1]\setminus F$ tal que $\lim_n p_n=x=\lim q_n$ . Sea $h_n=x-p_n$ y $k_n=x-q_n$ . Entonces $\lim_nh_n=0=\lim_nk_n$ y $$\begin{align} \lim_n f(x-h_n)&=\lim_n f(p_n)=1=f(x)\\ \lim_n f(x-k_n)&=\lim_n f(q_n)=0\neq f(x) \end{align} $$ Esto completa la prueba del caso débil.

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Observación: La versión débil como tal no proporciona una solución al PO ya que la secuencia de traducciones $\tau_{h_n}f$ y $\tau_{k_n}f$ dependen del punto $x\in F$ .

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$L_1$ -versión del problema: Será conveniente considerar el problema en $\mathbb{T}$ (el círculo de radio uno centrado en $0$ o $\mathbb{R}\mod 1$ ) con la suma $\mod 1$ y la medida de longitud de arco (medida de Lebesgue sobre $\mathbb{T}$ ). A raíz de una sugerencia de Anthony Quas en su respuesta a una pregunta relacionada con el Teorema ergódico se puede buscar la existencia de funciones integrables (o funciones localmente integrables) $f\in L_1(\mathbb{R},m)$ tal que $\tau_{a_n}f$ no converge a $f$ casi con seguridad. En este caso, se pueden utilizar funciones máximas (similares a las técnicas clásicas de Hardy-Littlewood, Wiener, Doobs, por ejemplo) para analizar la convergencia puntual de operadores lineales positivos acotados $T_n :L_1(m)\rightarrow L_1(m)$ .

• En términos generales, la técnica puede describirse como sigue: Para cada $n\in\mathbb{N}$ , defina $M_nf=\max_{1\leq j\leq n}T_jf$ y $Mf:=\sup_n T_n f$ .

Propuesta I: Si $M$ es de tipo débil $(1,1)$ Es decir, hay $C>0$ tal que $$\begin{align} \sup_{\lambda>0}\lambda m(M|f|>\lambda)\leq C\|f\|_1,\qquad f\in L_1(m),\tag{1}\label{type11} \end{align}$$ y $T_ng\xrightarrow{n\rightarrow\infty} g$ para todas las funciones $g$ en algunos $\mathcal{G}\subset L_1(m)$ entonces $T_nf$ converge a $f$ a.s. para todos $f$ en el cierre $\overline{\mathcal{G}}$ de $\mathcal{G}$ en $L_1$ .

La prueba de este hecho es estándar en Análisis. Presento un esquema en la adenda.

• Lo contrario también es válido, por ejemplo, cuando los operadores $T_n$ en $L_1(\mathbb{T})$ son invariables por traslación.

Propuesta II: Si $T_nf(x)\xrightarrow{n\rightarrow\infty} f(x)$ casi seguramente para cualquier $f\in L_1(\mathbb{T})$ y $T_n$ conmutan con las traducciones, entonces $M$ es de tipo débil $(1,1)$ .

Los resultados de este tipo son más delicados. Los resultados conocidos en este sentido son El principio de máxima de Stein y Teorema de Swayer (de ahí nuestra elección de $L_1(\mathbb{T})$ ). En la línea real, existe un resultado para cierto tipo de operadores de convolución (como los que tenemos $T_nf=f*\mu_n$ para medidas con soporte compacto) para las que se cumple una desigualdad de tipo débil (1,1) (Véase Harmonic Analysis, Stein, E., capítulo X).

• Con estas herramientas a nuestra disposición, podemos demostrar que la colección de $f\in L_1$ para lo cual $f_n=\tau_{\alpha_n}f$ no converge a $f$ punto de vista casi seguro (es decir, el $f\in L_1$ para lo cual $m(f_n\stackrel{n}{\nrightarrow} f)>0$ ) no está vacío. Para ello, basta con demostrar que la función máxima $M:f\mapsto Mf=\sup_n|\tau_{a_n}f|$ no satisface una desigualdad máxima de tipo débil (1,1). Esto equivale a demostrar que para cualquier $m\in\mathbb{N}$ existe una función $f_m\in L_1(\mathbb{T})$ tal que $\|f_m\|_1\leq1$ y $$ \sup_{t>0}t \,m(|Mf_m|>t)\geq m\|f\|_1$$ Sin pérdida de generalidad, supongamos que $1\geq a_n\searrow0$ es decir $0<a_{n+1}<a_n\leq1$ para todos $n\in\mathbb{N}$ y $a_n\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0$

(Debido a Anthony Quas:) Por cada $k$ , dejemos que $\beta_k>0$ para que $$\beta_k<\min_{1\leq j\leq k}(a_{j-1}-a_j)$$ y definir $f_k:=\mathbb{1}_{[0,\beta_k]}$ para que $\|f_k\|_1=\beta_k<1$ . Entonces, los conjuntos $[a_0,\beta_k+a_0],\ldots [a_k,\beta_k+a_k]$ son disjuntos por pares y por lo tanto $M_kf_k(x)=\max_{1\leq j\leq k}\tau_{a_j}f_k(x)=1$ en $\bigcup^k_{j=0}[a_j,a_j+\beta_k]$ Por lo tanto $$\sup_{t>0}t m(Mf_k>t)\geq k\|f_k\|_1$$ Esto significa que $$\sup_{\|f\|_1=1}\sup_{t>0}t\, m(Mf>t)=\infty$$ La proposición II implica la existencia de $f\in L_1(\mathbb{T})$ para lo cual \eqref {cero} se mantiene.

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Observación: Es posible utilizar las funciones $f_k$ definido anteriormente para construir un explícito función $f\in L_1(\mathbb{T})$ satisfaciendo \eqref {cero} y a partir de esto, obtener una función acotada medible $\phi$ como en el caso anterior.

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Adenda: ( Esquema de la prueba de la proposición I ) Para $f\in \overline{\mathcal{G}}$ , elija $\{\phi_n:n\in\mathbb{N}\}\subset \mathcal{G}$ tal que $\|f-\phi_n\|_1\leq \frac1n$ . Entonces $$ |T_kf-f|=|T_k(f-\phi_n)-(f-\phi_n)|+T_k\phi_n-\phi_n|\leq M|f-\phi_n|+|f-\phi_n|+|T\phi_n-\phi_n| $$ Configurar $T_*f=\limsup_k|T_kf-f|$ y observando que $T_*\phi_n=$ para todos $n$ obtenemos que $$ T_*f\leq M|f-\phi_n|+|f-\phi_n| $$ para todos $n$ . Entonces, desde \eqref {tipo11} y la desigualdad de Chebyshev-Markov $$ m(T_*f>2\lambda)\leq m(M|f-\phi_n|>\lambda)+m(|f-\phi_n|>\lambda)\leq\frac{(C+1)}{n\lambda}\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0 $$ En consecuencia $\lim_nT_nf(x)=f(x)$ para $m$ -casi todos $x$ . En particular, de $\mathcal{G}$ es denso en $L_1$ entonces para cualquier $f\in L_1(m)$ , $T_nf(x)\xrightarrow{n\rightarrow\infty} f(x)$ casi seguro.

Answer 2

Atención Hasta ahora nadie ha conseguido encontrar una respuesta al OP a la altura del libro de Brucker como pedía el OP. Mi respuesta es la más cercana al PO al nivel del libro de Brucker.

Esta respuesta presenta dos "soluciones parciales". La primera es:

Una función acotada medible en $[0, 1]$ y una secuencia $a_n$ de números positivos que convergen a cero, tal que la secuencia de funciones $f_n(x)=f (x − a_n )$ no es a.e. convergente a f.

Atención : Aquí utilizamos un conjunto gordo de Cantor $F$ y la secuencia $a_n$ no depende del punto $x \in F$ . Sin embargo, no es una solución completa al PO, ya que la secuencia no es arbitraria.

Vayamos paso a paso.

1. Utilizando la representación en base 3, el conjunto de Cantor $C$ puede describirse como el conjunto de elementos de $[0,1]$ que tienen al menos una representación que no utiliza el dígito $1$ (recuerda que los números racionales tienen dos representaciones, mientras que los irracionales sólo tienen una). Es fácil ver que la medida del conjunto excluido es $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{3^n} =1$ . Así que $\lambda(C)=0$ .

2. Una forma sencilla de producir un conjunto Cantor gordo es definir $F$ el conjunto de elementos de $[0,1]$ que tienen al menos una representación que no contiene la secuencia $11$ . En este caso, la medida del conjunto excluido es $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{3^{n+1}} =\frac{1}{3}$ . Así que $\lambda(F)=\frac{2}{3}$ .

Obsérvese que si una representación de un número racional contiene la secuencia $111$ entonces ambas representaciones contienen la secuencia $11$ . Por ejemplo, considere $r= 0.2111$ entonces la otra representación es $r= 0.21102222 \dots$ . Ambas representaciones contienen la secuencia $11$ . Por lo tanto, si $y \in [0,1]$ y una representación de $y$ contiene la secuencia $111$ entonces $y \notin F$ .

Ahora definamos la secuencia $(a_n)_n$ .

Los primeros 26 elementos son $a_1=0.001$ hasta $a_{26}=0.222$ .

Los siguientes 26 elementos son $a_{27}=0.0001$ hasta $a_{52}=0.0222$ .

Los siguientes 26 elementos son $a_{53}=0.00001$ hasta $a_{78}=0.00222$ .

Y así sucesivamente.

Está claro que $a_n$ converge a $0$ .

Dejemos que $x \in F$ , considere la secuencia $x-a_n$ . Es fácil ver que dado cualquier $N \in \Bbb N$ , hay $n>N$ tal que una representación de $x-a_n$ contiene $111$ . Así que, $x-a_n \notin F$ .

Dejemos que $f$ sea la función indicadora de $F$ . Entonces, para todos los $x \in F$ , $f(x)=1$ . Pero, a partir del párrafo anterior, tenemos que dado cualquier $N \in \Bbb N$ , hay $n>N$ tal que $x-a_n \notin F$ , lo que significa que $f(x-a_n)=0$ .

Así que, para todos $x \in F$ , $f(x-a_n)$ no converge a $f$ .

Desde $\lambda(F) > 0$ las funciones $f_n(x)= f(x-a_n)$ no convergen a.e a $f$ .

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He aquí una segunda "solución parcial". Se presenta:

Para cualquier secuencia $a_n$ de números positivos que convergen a cero, una función acotada en $[0, 1]$ tal que la secuencia de funciones $f_n(x)=f (x − a_n )$ no es a.e. convergente a f.

Atención : Aunque la secuencia $a_n$ es arbitraria, esto no es una solución completa para el PO, porque $f$ en general, no será medible.

La idea es, dada cualquier secuencia de números positivos que convergen a cero, construir un conjunto de Vitalli $G$ adaptada a la secuencia.

Dada cualquier secuencia $(a_n)_n$ de números positivos que convergen a cero, sea

$$S=\left\{ \sum_{k=0}^m p_k a_{n_k}: (a_{n_k})_k \text { is a finite set of elements in the sequence } (a_n)_n \text { and } \\ p_k \in \Bbb Z \text{, for all } k\in \Bbb N \right\}$$ Por supuesto, $0 \in S$ (adición vacía) y para cada $n$ , $a_n \in S$ . Es fácil ver que $S$ es contable.

Definamos $\sim$ en $[0,1]$ por $x \sim y$ si y sólo si $x-y \in S$ . Es fácil ver que $\sim$ es una relación de equivalencia.

Elijamos exactamente un elemento de cada clase de equivalencia. Sea $G$ sean los elementos así elegidos.

Tenga en cuenta que $[0,1] \subseteq \bigcup_{s \in S} (G+s)$ y que, para todos $s \in S$ , $\lambda^*(G+s) = \lambda^*(G)$ . De ello se desprende que $\lambda^*(G)>0$ .

Dejemos que $f$ sea la función indicadora de $G$ . De ello se deduce que, para cada $x\[0,1]$ si $f(x)=1$ entonces $x \in G$ y luego, para todos $n \in \Bbb N$ , $x-a_n \notin G$ Así que $f(x-a_n) =0$ . Así que $f_n(x)=f(x-a_n)$ no converge puntualmente a $f$ en $G$ y como $\lambda^*(G)>0$ tenemos que $f_n$ no converge a $f$ .

Tenga en cuenta que $f$ es una función acotada, pero no es medible.

Answer 3

Digamos que un conjunto $A\subset [0,1]$ es uniformemente "poroso" si a cada $\Delta>0$ y cada intervalo $I$ de longitud $\Delta$ hay $\delta=\delta(\Delta)>0$ para que $I\setminus A$ contiene un intervalo de longitud $\delta$ . En otras palabras, $A$ tiene "agujeros" de longitud $\delta$ que son $\Delta$ - y se ha vuelto más denso.

Una construcción típica de un conjunto de Cantor gordo tiene esta propiedad de porosidad uniforme, por ejemplo el conjunto descrito en la página wiki set de cantor gordo .

Dejemos que $N_\Delta=\lceil \Delta/\delta\rceil$ y que $\tau_a(x)=x+a$ sea la traslación por $a>0$ . La propiedad de porosidad implica que para cada $\Delta>0$ : $$ \bigcap_{k=0}^{N_\Delta-1} \tau^k_\delta(A) = \emptyset.$$ Así, cada punto de $A$ en algún momento entrará en un agujero por una de las traducciones $\tau_\delta,...,\tau_{(N_\Delta-1)\delta}$ . Ahora, elija (arbitrariamente) una secuencia $\Delta_n \to 0^+$ y que $\delta_n=\delta(\Delta_n)>0$ , $N_n= N_{\Delta_n}$ sean los datos correspondientes a los agujeros asociados. Definir $(a_j)_{j\geq 1}$ para ser la secuencia obtenida al yuxtaponer los "trozos" $(\delta_n,2\delta_n,...(N_n-1)\delta_n)$ empezando por la izquierda con $n=1$ . Por construcción, $a_j\to 0$ como $j\to +\infty$ .

Dejemos que $f={\bf 1}_A$ sea la función característica de $A$ . Entonces, para cada punto $x\in A$ la secuencia $(f(x+a_j))_{j\geq 0}$ contiene infinitamente muchos ceros, es decir, no hay ningún punto $x\in A$ para la cual la secuencia converge a $f(x)=1$ . Esto se deduce del hecho de que arbitrariamente lejos en la secuencia usted encontrará un pedazo para el cual uno de los traduce pertenecerá a un agujero de $A$ .