Si $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es continua con convexa de la imagen, y el nivel local 1-1, debe ser a nivel mundial 1-1?

Question

Para $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que es continuo, siendo localmente 1-1 implica globalmente 1-1, ver aquí. Esto no es cierto para un general de la asignación de $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$. Mi intuición en cuanto a la fuente de esta incongruencia es que mientras que preserva la continuidad de la conectividad, ya que no se conserva la convexidad.

Esta ilustración (a partir de Buck Cálculo Avanzado) de un localmente inyectiva, no a nivel mundial inyectiva función de $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2$algo soporta mi intuición...nota: la imagen no es convexa. Si fuera convexa, parecería que no tendría que haber algún "punto crítico" (no suponiendo la existencia de la derivada) donde $f$ no estaba local 1-1.

Hay un teorema que si $f: S \to \mathbb{R}^n$ es continua, por $S\subset \mathbb{R}^n$ convexo, con convexa de la imagen, a nivel local 1-1, entonces debe ser de 1-1 en todos los de $S$?

Answer 1

En $\Bbb R^2$, es fácil para "pintar" un contra-ejemplo.

Acaba de tomar una amplia, pincel fino, sumergirla en la pintura, y se utiliza para pintar un disco muy grande. Mantenga sus trazos muy suave, nunca girando el cepillo en su lugar y nunca de hacer ningún movimiento brusco.

Esto le da un local uno-a-uno, la función continua de una larga, delgada región rectangular (la pintura de la pista) para el disco. La pintura de la pista y el disco son tanto convexo y compacto, pero la función no es uno a uno.

Aclaración: ¿Cómo podemos estar seguros de nuestros golpes son lo suficientemente suave? Vamos a una de las caras de la brocha ser considerado el frente, y el otro la parte de atrás. Mueva el cepillo en una secuencia de arcos, la elección de un punto de pivote a lo largo de la línea que va desde el extremo izquierdo de la brocha para el extremo derecho, pero que quedan fuera de la brocha. Mover el pincel en un "adelante" de la dirección cada vez.

Será más fácil para pintar un anillo alrededor del borde en primer lugar, como un arco, y luego rellenar el resto.

Answer 2

Uno puede modificar la foto de ejemplo para tener dominio de, digamos, el conjunto de $(x,y) \in \mathbb{R}^2$$0 < x < 1$. Imaginar la función está dada por tomar un segmento de la línea de ancho de $1$, la asignación del centro de la línea de segmento a $f(\frac{1}{2},y)$, y luego todo el resto de la línea de segmento lineal. Por lo tanto necesitamos una función continua $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ a $f(\frac{1}{2},y) = g(y)$. Si $g$ es suave, con la nada de fuga de derivados, $f$ es localmente inyectiva. Es fácil elegir un $g$ a fin de hacer la $f$ surjective -- por ejemplo, asegúrese de que cada de vez en cuando $g$ traza la circunferencia de radio $\frac{n}{2}$ centrada en el origen para cada una de las $n \in \mathbb{Z}^+$. -- y no inyectiva -- cada asegúrese de $g$ no lo he dicho anteriormente, al menos, dos veces para cada entero positivo $n$.

Más precisamente: quiero que el segmento de estar orientada de manera que para todos los $y \in \mathbb{R}$, que es perpendicular al vector tangente $g'(y)$. Una vez que especificar su orientación es al $y = 0$ (tomar de forma horizontal; no importa) que determina para todos los $y$.

Dado que el dominio de $f$ es diffeomorphic a $\mathbb{R}^2$, podemos sacar esto hacia atrás para obtener un (suave) contraejemplo $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$.

Añadido: La parte anterior de la construcción también puede ser utilizado para dar un $f$ tal que para todo $v \in \mathbb{R}^2$, $f^{-1}(v)$ es countably infinito. Countably infinito es el mayor posible preimagen de un localmente inyectiva función en $\mathbb{R}^2$ (o cualquier $\sigma$-compacto $T_1$ topológica del espacio): cubierta $\mathbb{R}^2$ por countably muchos subconjuntos compactos. Si cualquier preimagen fueron incontables, su intersección con algún subconjunto compacto serían innumerables, y por lo tanto la preimagen de $f^{-1}(v)$ tendría una acumulación de punto, en que $f$ no es localmente inyectiva.

Answer 3

Allí no se necesita puntos críticos. Lo que yo creo que es el estándar de ejemplo Buck está dando no es $$f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2, \quad f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\pecado y).$$ Si usted sabe variables complejas, usted va a reconocer $f$$e^z$.